海文钻石卡讲义(高数).doc

一函数、极限、连续
1函数的性质
a有界性
(1)定义：,，有.
(2)无界：,，有.
(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；
无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b奇偶性
(1)定义：偶；奇。
(2)导函数：奇导偶，偶导奇.
(3)原函数：奇原偶,偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.
c周期性
(1)定义：
(2)导函数：导函数还是周期函数并且周期相同
d单调性
(1)定义：递增(递减)当时，均有
(2)导函数：单增(减)；单增(减).
一函数、极限、连续
1函数的性质
a有界性
(1)定义：,，有.
(2)无界：,，有.
(3)无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；
无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b奇偶性
(1)定义：偶；奇。
(2)导函数：奇导偶，偶导奇.
(3)原函数：奇原偶,偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数.
c周期性
(1)定义：
(2)导函数：导函数还是周期函数并且周期相同
d单调性
(1)定义：递增(递减)当时，均有
(2)导函数：单增(减)；单增(减).

例1设
（A）偶函数（B）有界函数
（C）周期函数（D）单调函数
分析：(A)则是偶函数.
(B)取,则,故无界.
(C)若为周期函数,设周期为,,故而,从而
显然,
当,显然,故而不是周期函数.
(D)设,故而不是单调函数.

例2设是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是()
（A）（B）
（C）（D）根据上面条件无法判断
分析:
(A)是偶函数,从而(A)是奇函数.
(B)是奇函数,从而(B)是偶函数.
(C)是奇函数,偶函数.

例3设函数具有二阶导数，并满足且若则（B）
(A)(B)
(C)(D)
分析:显然是奇函数,故而
是偶函数且为周期为1的函数,则
.

2极限的定义和性质
a一元函数的极限与性质
(1):,，当时，有.
(2)
推论:若,则不存在.
(3)当有
(4)四则运算(略).它的一个重要推论如下:若，则
①=2\*GB3②.
b二元函数
(1):,，当时，
有.
(2)
推论：若按两路径趋向于所得极限不同，则
不存在.
(3)当有
例4设，求和。
分析:

例5设函数在点（0，0）连续，且，则点（0,0）是()
（A）极大值点（B）极小值点
（C）不是极值点（D）根据上面条件无法判断

3一元函数极限的计算
a四则运算和等价无穷小代换.
例6.

例7求

b三大恒等变形
1).含的极限.
=1\*GB3①若直接计算且,直接利用公式
=2\*GB3②将写成求解.
例8

例9

2）有理化变形
例10

求

3)分子、分母同时除以最大的无穷大
常见的无穷比较:
例12

例13

d洛必达法则和泰勒定理
函数进行泰勒定理展开时,只要展开到首次不同项即可.
例14设函数，则当时，
是的（）
（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小

例15求.

4二元函数极限的计算
a利用夹逼准则、等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限.
例16求

例17求

b选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在.
例18请说明是否存在.

5连续函数
a定义:.
b运算:连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），仍连续;
连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续。
c闭区域(区间)连续函数性质:有界性、最值性、介值性、零点定理.
推论:设在连续,且存在,则在有界.
例19(04)设函数在下列哪个区间内有界()
A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)

例20设在连续，，求证存在使得
.

二微分学
1导数与偏导数的定义、性质
a导数定义:
1)存在.
2)存在在可微在连续.
3)若,在连续，则存在
若,在连续,则存在.
b偏导数定义:,
.
1)在可微
2)
例1设,则在原点偏导数有()
(A)偏导存在，偏导不存在(B)偏导不存在，偏导也不存在
(C)偏导不存在,偏导存在(D)偏导存在，偏导也存在

例2讨论二元函数
在处的连续性、偏导是否存在和可微性．

例3可导,,则是存在的()条件
A充要B充分非必要C必要非充分D即非充分也非必要

2显函数求导公式
a常见的求导公式:四则运算和复合函数求导(略).
b微分方法求导(偏导数):利用微分形式不变性求出微分,自变量微分的系数就是所要求的导数.
c连环相乘的对数求导法:设,
两边取对数
从而
例4设求和.

例5设,求.

例6设求

3特殊函数的求导方法
a参数函数求导法:;.
b反函数求导法:;
c变上限函数求