2012海文考研高数讲义下.pdf

高等数学讲义
（高数下）

赵达夫

六、多元函数微分学

（一）本章的重点内容与常见的典型题型

1.多元函数（主要是二元、三元）的偏导数和全微分概念；

2.偏导数和全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数及隐函数的偏导

数；

3.方向导数和梯度；

4.多元函数微分在几何上的应用；

5.多元函数的极值和条件极值.

常见题型有：

1.求二元、三元函数的偏导数、全微分.

2.求复合函数的二阶偏导数；隐函数的一阶、二阶偏导数.

3.求二元、三元函数的方向导数和梯度.

4.求空间曲线的切线与法平面方程，求曲面的切平面和法线方程.

5.多元函数的极值在几何、物理与经济上的应用题.

第4类题型，是多元函数微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应

结合起来复习.

极值应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意.

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（二）知识网络图

极限
二元函数
连续
归结为一元函数求导
偏导数概念

隐函数的偏导数
偏导数计算
偏导数
复合函数的偏导数
偏导数连续高阶偏导数
一链锁法则

二阶偏导连续⇒=fxy′′(xy,,)fyx′′(xy)
多元函数微分学
可微概念

zfxy=(,)可微，
全微分
则dz=+fxy′′()x,,ydxf()xydy

一阶微分形式不变性

极值存在的必要条件
无条件极值
判定极值的充分条件

化成无条件极值
多元函数极值条件极值
拉格朗日乘数法

多元极值在经济中的
应用：最大值，最小值

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（三）典型题型分析及解题方法与技巧

题型一有关多元函数偏导数与全微分概念的命题

⎧∂z1
⎪=−siny+,
［6.1］设z(xy,)满足⎨∂+x1xy，求z(xy,).
⎪
⎩zy()1,=siny,

x
［6.2］设zfxye==(),xysinπyx+−(1)arctan，求f′(1,1)及f′(1,1).
yxy

［6.3］函数f()xy,=3xy2在点（0，0）处（）.

（A）不连续；

（B）连续，但偏导数fx′()0,0和fy′(0,0)不存在；

（C）连续且偏导数fx′(0,0)和fy′(0,0)都存在，但不可微

（D）可微.

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［6.4］设ze=sin(xy),则dz=.

题型二求二元(三元)各类函数的偏导数与全微分

xy∂z
［6.5］设zfxyg=+(,)(),其中f,g均可微,则=.
yx∂x

［6.6］设ufxyz=(,,)有连续的一阶偏导数,又函数yyx=()及z=zx()分别由下

xz−sintdu
列两式确定:exyxy−=2和edtx=，求.
∫0tdx

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y∂w
［6.7］设函数f()u一阶可导,wxy(,)=+e−yf(xtdt),求.
∫0∂x∂y

zz
［6.8］设函数F具有一阶连续偏导数,z=zxy(,),由方程Fx(,)0+y+=
yx

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∂∂zz
所确定,xy≠+≠0,yF′xF′0求x+y.
21∂∂xy

xy∂2z
［6.9］设zfxyg=+(,)(),其中f,gC∈(2),求.
yx∂x∂y

1∂2z
［6.10］设z=++fxy()yϕ(xy),其中f,ϕ∈C(2).则=.
x∂x∂y

∂∂22zz
［6.11］设f()uC∈(2).而z=fe(sin)xy满足方程+=ez2x,求f()u.
∂∂xy22

∂ϕ
［6.12］设ufxyzxez===(,,),(ϕ2,y,)0,ysinx,其中f,ϕ∈C(1),且≠0,求
∂z

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du
.
dx

∂2z
［6.13］设z==∈fuxyu(,,),xefy,C(2),求.
∂x∂y

z∂z
［6.14］设xz22+=yϕ()，其中ϕ为可微函数,求.
y∂y

［6.15］函数uxyz=++ln(222)在点M(1,2,−2)处的梯度gradu=.
M

［6.16］函数uxyz=++ln(22)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,−2,2)方向

的方向导数为.

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题型四综合题,条件极值,几何应用

［6.17］证明:⑴若f(),()xfy当xy>>0,0时可微,且f()xy=f()x+f()y.

则f()xax=ln,其中a为实数.

⑵若f(),()xfy对任意x,y可微,且f()()()xy+=fxfy,当fx()≠0时,则

f()xe=ax,其中a为