2012海文考研高数讲义上.pdf

高等数学讲义

（高数上）

赵达夫

一函数、极限与连续

（一）本章的重点内容与常见的典型题型

１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，

又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：

（1）利用极限的四则运算法则及函数的连续性；

（2）利用两个重要极限，两个重要极限即

nx
⎛⎞11⎛⎞1
lim⎜⎟1+=+=+=lim⎜⎟1lim()1xxe,
nxx→∞nx→∞→0
⎝⎠⎝⎠
sinx
lim=1;
x→0x

（3）利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；

（4）利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；

（5）利用夹逼定理；

（6）先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），

再利用关系式求出极限；

（7）利用定积分求某些和式的极限；

（8）利用导数的定义；

（9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零。

这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计

算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还

要具体问题具体分析，方法要灵活运用。

２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数

的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。

３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。

1
通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：

１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；

２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型；

３．无穷小的比较；

４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；

５．求分段函数的复合函数。

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（二）知识网络图

“ε－Ｎ”定义

极限概念“ε－Ｘ”定义

“ε－δ”定义

唯一性

数列整体有界
极限性质有界性
函数局部有界

保号性

夹逼定理
１极限存在准则
单调有界数列有极限

n
⎛⎞1
lim⎜⎟1+=e
极限n→∞n
求极限的２两个重要的极限⎝⎠
sinx
主要方法３函数的连续性lim=1
x→0x

0∞
４用导数的定义型、型转换
0∞
５洛必达法则
∞−∞型、0⋅∞型

10∞、、型∞00
６等价无穷小替换
７泰勒公式
８用函数极限求数列极限

无穷小量与无穷大量的定义、关系
无穷小量的运算性质
无穷小量
无穷小量与极限的关系
无穷小量的阶、等价无穷小量

初等函数的连续性
连续的概念分段函数连续性判定
最值定理
闭区间上连续函数的性质
介值定理
连续性
可去
第一类——左右极限都存在
跳跃
间断点的分类
第二类——左右极限中至少有一个不存在

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（三）典型题型分析及解题方法与技巧

题型一求复合函数

1⎪⎧ex−x,0,<
［例1.1］设f()xxxgx=+,()=求与fgxgfx()().
()⎨2()()
2⎩⎪xx,0,≥

题型二利用函数概念求函数的表达式

2
［例1.2］已知fx()==−≥ex,f[ϕϕϕ()x]1x且求(x)0,(x)并写出它的定义域．

题型三判断函数的性质

［例1.3］设fx()=xtanxesinx,则fx()是（）

（A）偶函数（B）无界函数

（C）周期函数（D）单调函数.

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题型四求极限的方法

352x2+
［例1.4]］填空题limsin=____.
x→∞53xx+

［例1.5］求下列极限

1tan+−+x1sinx
()1lim;
x→0xx()1cos−

411xx2+−+x+
()2lim;
x→−∞xx2+sin

1
3sinxx+2cos
()3limx.
x→0()()1cosln1++xx

［例1.6］求下列极限

⎛⎞11
()1lim⎜⎟22−;
x→0⎝⎠sinxx

5

⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞31⎛⎞
()2limx⎢⎥sin⎜⎟⎜⎟ln⎜⎟1+−sinln⎜⎟1+;
x→∞⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎝⎠xx⎝⎠

x
⎛⎞21
()3limsin⎜⎟+cos
x→∞⎝⎠xx

［例1.7］选择题

x2−11
当x→1时，函数ex−1的极限是（）.
x−1

（A）2;（B）0；

（C）∞；（D）不存在但不为∞.

⎧axx(sin−)
⎪3,0,x>
⎪x
［例1.8］设fx()=⎨问a为何值时limf()x
x→0
⎪1x2
2sinxtdtx−<0sin(),0,
⎩⎪x()∫