2011文都数学强化班高等数学讲义-(汤家凤).pdf

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第一极限讲与连续
主要内容概括（略）
重点题型讲解
一、极限问题
类型一：连加或连乘的求极限问题
1．求下列极限：
⎛111⎞
（1）lim⎜++L+⎟；
n→∞⎝1×33×5(2n−1)(2n+1)⎠

nk3−1
（2）limπ；
n→∞k=2k3+1

n1
（3）lim[]n；
n→∞∑
k=1k(k+1)

2．求下列极限：
⎛111⎞
（1）lim⎜++L+⎟；
⎜222⎟
n→∞⎝4n+14n+24n+n⎠
3．求下列极限：
⎛111⎞
（1）lim⎜++L+⎟；
⎜222222⎟
n→∞⎝n+1n+2n+n⎠

nn!
（2）lim；
n→∞n

n1
（3）lim。
n→∞∑i2+1
i=1n+
n
类型二：利用重要极限求极限的问题
1．求下列极限：

xxx(n+1)n+11
（1）limcoscosLcos(x≠0)；（2）limsin；
n→∞2222nn→∞nnn
2．求下列极限：
1
http://shop35250918.taobao.com2
（1）lim(1+sinx)1−cosx；
x→0

1
x2
⎛1+tanx⎞x3ln(1+2x)⎛1⎞
（3）lim⎜⎟；（4）lim⎜cos⎟；
x→0⎝1+sinx⎠x→∞⎝x⎠
类型三：利用等价无穷小和马克劳林公式求极限的问题
1．求下列极限：
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1+tanx−1+sinxetanx−ex
（1）lim；（2）lim；
x→0x(1−cosx)x→0x(1−cosx)
12+cosx11
（3）lim[()x−1]；（4）lim(−)；
x→0x33x→0x2tan2x
(3+x)x−3x
（5）lim；
x→0x2
f(x)
ln(1+)
f(x)
（6）设limsinx=A，求lim。
x→0ax−1x→0x2

x2
−
cosx−e2
2．求下列极限：lim
x→0x3sinx
类型四：极限存在性问题：

1．设x1=1,xn+1+1−xn=0，证明数列{xn}收敛，并求limxn。
n→∞

nn
2．设f(x)在[0,+∞)上单调减少、非负、连续，an=f(k)−f(x)dx(n=1,2,L)，
∑∫1
k=1

证明：liman存在。
n→∞
类型五：夹逼定理求极限问题：

n
1sinx
1．求limdx；
n→∞∫01+x

1
2．lim(an+bn+cn)n(a,b,c非负)；
n→∞

2n
n⎛x⎞
3．limn1+x+⎜⎟(x≥0)。
n→∞⎝2⎠
类型六：含参数的极限问题：

1．设lim(x−3sin3x+ax−2+b)=0，求a,b；
x→0

⎛x2+1⎞
2．设lim⎜−ax+b)⎟=3，求a,b；
http://shop35250918.taobao.comx→∞⎝x+1⎠
类型七：中值定理法求极限：
ππ
1、limn2(arctan−arctan)；
n→∞nn+1

11
2、limx2(e2x−1−e2x+1)。
x→+∞

类型八：变积分限函数求极限：
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2
xx
etcostdt−x−
∫0
1、lim2。
x→0(x−tanx)(x+1−1)

1
xf(xt)dt
∫1
2、设f(x)连续，且f(1)=1，则lim。
x→1x3−1
二、连续与间断的判断
⎧ln(1+x)
⎪,x>0
x
⎪
1．设f(x)=⎨0,x=0，讨论函数f(x)在x=0处的连续性。
⎪
1+x−1−x
⎪,−1≤x<0
⎩⎪x
⎧11
⎪xx
2．讨论f(x)=⎨(2−1)(2+1),x≠0在x=0处的连续性。
⎩⎪1,x=0
三、连续性命题的证明

1．设f(x)∈C[a,+∞)且limf(x)存在，证明f(x)在[a,+∞)上有界。
x→+∞

2．设f(x)在[a,b]上连续，任取p>0,q>0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得

pf(a)+qf(b)=(p+q))f(ξ)。

第二讲微分学
第一部分一元函数微分学
内容复习（略）
重点题型讲解
（一）与导数定义相关的问题

f(x0+βh)−f(x0−αh)
1．设f′(x0)存在，求lim(αβ≠0)。
h→0h
f(x)
2．设f(x)在x=1处连续，且lim=2，求f′(1)。
x→1x2−1
3．设http://shop35250918.taobao.comf(x)在(−∞,+∞)上有定义，对任意的x,y有f(x+y)=f(x)f(y)，且f′(0)=1，

求f(x)。

f(x)ef(x)−ex
4．设f(x)二阶连