2011年考研数学强化班高等数学讲义——汤家凤.doc

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2011年考研数学强化班高等数学讲义
汤家凤主讲

第一讲极限与连续
主要内容概括（略）
重点题型讲解
一、极限问题
类型一：连加或连乘的求极限问题
1．求下列极限：
（1）；
（2）；
（3）；
2．求下列极限：
（1）；
3．求下列极限：
（1）；
（2）；
（3）。
类型二：利用重要极限求极限的问题
1．求下列极限：
（1）；（2）；
2．求下列极限：
（1）；
（3）；（4）；
类型三：利用等价无穷小和马克劳林公式求极限的问题
1．求下列极限：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；
（6）设，求。
2．求下列极限：
类型四：极限存在性问题：
1．设，证明数列收敛，并求。
2．设在上单调减少、非负、连续，，证明：存在。
类型五：夹逼定理求极限问题：
1．求；
2．；
3．。
类型六：含参数的极限问题：
1．设，求；
2．设，求；
类型七：中值定理法求极限：
1、；
2、。
类型八：变积分限函数求极限：
1、。
2、设连续，且，则。
二、连续与间断的判断
1．设，讨论函数在处的连续性。
2．讨论在处的连续性。
三、连续性命题的证明
1．设且存在，证明在上有界。
2．设在上连续，任取，证明：存在，使得
。

第二讲微分学
第一部分一元函数微分学
内容复习（略）
重点题型讲解
（一）与导数定义相关的问题
1．设存在，求。
2．设在处连续，且，求。
3．设在上有定义，对任意的有，且，求。
4．设二阶连续可导，且，，则。
5．设在上有定义，且对任意的有，又当时，有，讨论在处的可导性。
（二）各类求导数的问题
1．设，求；
2．设，求；
3．，求；
4．设由确定，求；
5．设，求；
6．设，求；
7．设由确定，求；
8．设在处可导，求；
9．求下列函数的导数：
（1）设，求；
（2）设，求；
10．设连续，，且，求，并讨论在处的连续性。
11．设，其中二阶可导且。
（1）当为何值时，在处连续；（2）求；（3）研究在处的连续性。
解答：
（1）
，
于是当时，在处连续。
（2）当时，
，
即；
当时，，于是
。
（3）因为
，
所以在处连续。
12．设在上可导，在处二阶可导，且，求。
13．设，求，并讨论的连续性和可导性。
（三）高阶导数问题
1．设，求；
2．设，求。
3．设，求。
第二部分一元函数微分学的应用
内容复习（略）
附：中值定理部分的推广
1．设在的邻域内阶连续可导，则有
。
2．（导数零点定理）设，在内可导，且，则存在，使得。
3．（导数介值定理）设设，在内可导，且，不妨设，则对任意的，存在，使得。
4．设，且，则有
，等号成立当且仅当。
重点题型讲解
（一）中值定理等式的证明
类型一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶
1．设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。
2．设在上可微，且，证明：存在，使得
。
3．设在上连续，在内可导，。证明：
（1）存在，使得；
（2）对任意的，存在，使得
。
类型二：目标表达式中含两个中值
1．设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。
2．设在上连续，在内可导，，证明：存在，使得
。
3．设，在内可导，且，证明：对任意的正数，存在，使得。
4．设，在内可导（），证明：存在，使
。

类型三：目标表达式中含有端点和中值
1．设，在内可导，且，证明：存在，使得
。
类型四：目标表达式为
1．设函数在区间上连续，在内可导，且，，证明：存在，使得。
3．设在上三阶可导，且，证明：存在，使得。
4．设，且，证明：存在，使得。
类型五：目标表达式为（其中为常数）
1．设，在内二阶连续可导，证明：存在，使得
。
2．设在上三阶连续可导，且，证明：存在，使得。
3．设为个不同的实数，函数在上有阶导数，并满足
，则对每个，存在满足等式
。
（二）中值定理不等式的证明
1．，在内可导，，且不是常数，证明：存在，使得。
2．设，在内可导，且曲线非直线，证明：存在，使得。
3．，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。
4．设在上满足，且在内取到最小值，证明：
。
5．二阶可导，且，证明：。
6．设在上二阶可导，，对任意的（）及（），证明：
。
7．设且，证明：。
8．设在上有定义且，证明：对任意的，有。
9．设在上二阶可导，且，证明：存在，使得
。
10．设在的邻域内四阶可导，且，证明：对此邻域内任一不同于的，有
，
其中是关于的对称点。
11．设在上二阶可导，且，证明：对任意的，有。
12．一质点从时间开始直线运动，移动了单位