2011文都高数基础导学讲义(汤家凤)(1).pdf

第一讲极限与连续
一、基本概念
1．函数的初等特性

（1）单调—设f(x)为定D上的x1,x2∈D且义于x1<性x2，有函数，若对任意的

f(x1)<f(x2)，

称函f(x)在D上为f(x1)数>f(x2)，称单调f(x)在D上为函数增函减函数，数。若有

（2）有—设f(x)为定D上的界性M>0，对义于x∈D，有函数一切，若的存在

|f(x)|≤M，

成立f(x)在D上为，称有界函数。

（3）奇—设f(x)为定D上的D偶性关于义于x∈函数D，有原点，且对称，若对任意的

f(−x)=f(x)，

称f(x)在D上为f(−x)=−f(x)，称f(x)在D偶函上为数，奇函若数。

例如f(x)=ln(x+1+x2)，显然f(x)的定：(−∞,+∞)，且义域为

f(−x)=ln(−x+1+x2)=−ln(x+1+x2)=−f(x)，所以f(x)=ln(x+1+x2)为
奇函数。

（4）—设f(x)为定周D上的T>期性0且对x∈D义于，x+T∈D函数，若对任意，的

任意x∈D，有f(x+T)=f(x)，

称f(x)为周期函数。

如：f(x)=x−[x]，

显然f(x+1)=f(x)，故f(x)为以1为周期的函数。
2．基http://shop35250918.taobao.com—幂函本初数、等函指数数函数、对数函数、三角函数及反三角函数称为基本初等函
数。
．初—由常等函数及数基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而成的一个式子称
3
初等函数。
4．极限的基本概念

（1）（ε−N定义）：若ε>0，对任意的N>0，当n>N总存在时|an−A|<ε，称，有

A数列an的liman=A。极限，记为
n→∞

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（2）（ε−δ定义）：若对任意的ε>0，总存在δ>0，当0<|x−x0|<δ时，有

|f(x)−A|<ε，称A为函数f(x)当x→x0时的极限，记为limf(x)=A。
x→x0

（3）（ε−X定义）：若对任意的ε>0，总存在X>0，当|x|>X时，有

|f(x)−A|<ε，称A为函数f(x)当x→∞时的极限，记为limf(x)=A。
x→∞

（4）（左右极限）：若对任意的ε>0，总存在δ>0，当0<x0−x<δ时，有

|f(x)−A|<ε，称A为函数f(x)在x=x0处的左极限，记为f(x0−0)=A；

若对任意的ε>0，总存在δ>0，当0<x−x0<δ时，有|f(x)−B|<ε，称B为函数

f(x)在x=x0处的左极限，记为f(x0+0)=B

注解：limf(x)存在的充分必要条件是f(x0−0)与f(x0+0)都存在且相等。
x→x0

1
1−2x
例如：，，，显然在处的左右极限
f(x)=1f(0−0)=1f(0+0)=−1f(x)x=0
1+2x

都存在，因为左右极限存在但不相等，所以limf(x)不存在。
x→0
5．无穷小
（1）无穷小的定—以零为极限的函数称为无穷小。
（2）无穷小的层次：设α→0,β→0，则
β
1）若lim=0，称β为α为高阶无穷小，记为β=o(α)；
α
β
2）若lim=k(≠0,∞)，称α与β为同阶无穷小，记为β=O(α)，特别地，若
α
β
lim=1，称α与β为等价无穷小，记为α~β。
α
（3）无穷小的性质
1）有限个无穷小之和还是无穷小；
2）有限个无穷小之积还是无穷小；http://shop35250918.taobao.com
3）有界函数与无穷小之积还是无穷小；
4）常数与无穷小之积还是无穷小；
5）α~α；

6）若α~β，则β~α；

7）若α~β，β~γ，则α~γ；

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β′ββ′
8）若α~α′，β~β′，且lim存在，则lim=lim；
α′αα′
9）limf(x)=A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α→0；

10）设α→0,β→0，则α~β的充分必要条件是β=α+o(α)；

证明：必要性
ββ
设α~β，即lim=1，由性质9），=1+γ，其中γ→0，
αα
αγ
于是β=α+αγ，又因为lim=limγ=0，，所以αγ=o(α)，故β=α+o(α)；
α
充分性
βo(α)
设β=α+o(α)，两边同除以α，得=1+，
αα
o(α)β
因为lim=0，所以lim=1，即α~β。
αα
（4）当x→0时常用的等价无穷小：
1）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ex−1~ln(1+x)；

x2a
2）1−cosx~,1−cosax~x2；
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3）(1+x)a−1~ax；

4）ax−1~