高数辅导讲义2.doc

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第二章一元函数微分学

§2．1导数与微分

甲内容要点

一．导数与微分概念

1．导数的定义

设函数在点的某邻域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商）
记作，或，，等。
并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。
导数定义的另一等价形式，令，，
则
我们也引进单侧导数概念。
右导数：
左导数：
则有
在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。
切线方程：
法线方程：
设物体作直线运动时，路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。
例如，，在处连续，却不可导。

4．微分的定义

设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式

其中为与无关，是时比高阶的无穷小。
则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，
记以或
我们定义自变量的微分就是。

5．微分的几何意义

是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）。

6．可微与可导的关系

在处可微在处可导。
且
一般地，则
所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。

7．高阶导数的概念

如果函数的导数在点处仍是可导的，
则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，
记以，或，或等，
也称在点处二阶可导。
如果的阶导数的导数，称为的阶导数记以，，等，这时也称是阶可导。

二．导数与微分计算

1．导数与微分表

（实常数）（实常数）

2．四则运算法则

3．复合函数运算法则

设，，如果在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且有

对应地
由于公式不管是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。

4．由参数方程确定函数的运算法则

设，确定函数，其中，存在，且，则

二阶导数

5．反函数求导法则

设的反函数，两者皆可导，且
则
二阶导数

6．隐函数运算法则

设是由方程所确定，求的方法如下：
把两边的各项对求导，把看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出的表达式（允许出现变量）
例：，，

7．对数求导法则

先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数。
对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数
关于幂指函数常用的一种方法这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。

乙典型例题

一．用导数定义求导数

例1．设，其中在点处连续，求。
解：没有假设可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义

例2．设（为正整数），求

例3．设，在内有定义，且满足，，，，，其中为常数，求。

二．分段函数在分段点处可导性

例1．讨论函数

在处的连续性与可导性。
解：函数在处连续，因为，

则
但是，在处没有导数，因为

曲线在原点的切线不存在。（见上图）

例2．讨论函数在点处的连续性与可导性。

例3．设函数

试确定、的值，使在点处可导。
例4．设问和为何值时，可导，且求。

例5．设，在内求。

例6．设，求。

三．用各种运算法则求导数

1．运用四则运算和复合函数求导法则

例1．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
解：（1）

（2）

（3）。
例2．求下列函数的微分
（1）；
（2）；
（3）。

例3．设，求

例4．设可导，，求

例5．设可微，，求

例6．设可微，，求

2．运用隐函数求导法则

例1．设由方程所确定，求和
解：对方程两边关于求导，看作的函数，按中间变量处理

于是，

3．运用对数求导法则

例1．求的导数
解：
对求导，得

因此，
例2．设，求

例3．设由方程所确定，求

4．运用参数方程求导法则

例1．设，求

例2．设，求

例3．设可导，连续，
，求

五．高阶导数

1．求二阶导数

例1．设求

例2．设求

例3．设由方程所确定，求
解：，

2．求阶导数（，正整数）

先求出总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的阶导数公式
（1）
（2）
（3）
（4）
(5)
两个函数乘积的阶导数有莱布尼