高数辅导讲义5.doc

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第五章向量代数与空间解析几何（数学一）

§5．1向量代数

甲内容要点

一．空间直角坐标系

从空间某定点作三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称为轴，轴，轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。

1．两点间距离

设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为

2．中点公式

设为，联线的中点，则

二．向量的概念

1．向量

既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点到另一点的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段表示向量。点叫起点，点叫终点，向量的长度叫做模，记为。
模为的向量称为单位向量。

2．向量的坐标表示

若将向量的始点放在坐标原点，记其终点，且点在给定坐标系中的坐标为。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为，则向量可以表示为

称之为向量的坐标表达式，也可以表示为

称分别为向量在轴，轴，轴上的分量。称分别为向量在轴，轴，轴上的投影。
记与轴、轴、轴正向的夹角分别为，则

方向余弦间满足关系
描述了向量的方向，常称它们为向量的方向角。的模可以表示为

与向量同方向的单位向量可以表示为。与向量平行的单位向量可以表示为。
向量同方向上的单位向量常记为。

三．向量的运算

1．加法。
减法。
2．数乘。（是常数）
向量的加、减和数乘运算统称线性运算。
3．数量积。

其中为向量间夹角
为数量也称点乘。
表示向量在向量上的投影，即

4．向量积也称为叉乘。

的方向按右手法则垂直于所在平面，且

是向量，。等于以为邻边的平行四边形的面积。
5．混合积：定义，坐标公式
几何意义表示以为棱的平行大面体的体积。

四．两向量间的关系

设

关系向量表示向量坐标表示间夹角与垂直与平行

乙典型例题

例．设为两个非零向量，为非零常数，若向量垂直于向量，则等于（）。
（A）（B）（C）（D）
分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果垂直于向量，因此应有
即

由于为非零向量，因而应有，故应选（B）。

§5．2平面与直线

甲内容要点

一．空间解析几何

1．空间解析几何研究的基本问题
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。
（2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2．距离公式空间两点与间的距离为

3．定比分点公式是的分点：，点的坐标为，则

当为中点时，

二．平面及其方程

1．法（线）向量，法（线）方向数。
与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。
2．点法式方程已知平面过点，其法向量，则平面的方程为

或
其中
3．一般式方程

其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。
特别情形：
，表示通过原点的平面。
，平行于轴的平面。
，平行平面的平面。
表示平面。
4．三点式方程
设，，三点不在一条直线上，则通过的平面方程为

5．平面束
设直线的一般式方程为，则通过的所有平面方程为，其中。
6．有关平面的问题
两平面为

与间
夹角垂直条件平行条件重合条件设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离：

三．直线及其方程
1．方向向量、方向数
与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。
2．直线的标准方程（对称式方程）。

其中为直线上的点，为直线的方向数。
3．参数式方程

为参变量。
4．两点式
设，为不同的两点，则通过和的直线方程为

5．一般式方程（作为两平面的交线）：
，方向向量
6．有关直线的问题
两直线为

与间夹角垂直条件平行条件

四．平面与直线相互关系

平面的方程为：

直线的方程为：

与间夹角（）与垂直条件与平行条件与重合条件
上有一点在上

乙典型例题

例1．已知直线，若平面过点且与垂直，求平面的方程。
分析：由题意可知，直线的方向向量必定平行于所求平面的法线向量，因此可取

利用平面的点法式方程可知

即
为所求平面方程。
或写为一般式方程。
例2．设平面过点且与平面平行，则平面的方程为________。

例3．通过点且与直线：
，，
垂直的平面方程为________。

例4．求点到平面的距离。

例5．试确定过，及三点的平面方程。

例6．求通过坐标原点且垂直于直线的平面方程。

例7．求通过点且垂直于两平面：和的平面方程。

§5．3曲面与空间曲线