高数辅导讲义6.doc

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第六章多元函数微分学

§6．1多元函数的概念、极限与连续性

甲内容要点

一．多元函数的概念

1．二元函数的定义及其几何意义

设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。
二元函数的图形为空间一卦曲面，它在平面上的投影区域就是定义域。
例如，
二元函数的图形为以原点为球心，半径为的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为的闭圆。

2．三元函数与元函数

空间一个点集称为三元函数
称为元函数
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二．二元函数的极限

设在点的邻域内有定义，如果对任意，存在，只要，就有
则记以或
称当趋于时，的极限存在，极限值为，否则，称为极限不存在。
值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三．二元函数的连续性

1．二元函数连续的概念

若则称在点处连续。
若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。

2．闭区域上连续函数的性质

定理1．（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界.
定理2．（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值
（最大值），（最小值）
定理3．（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值。若，则存在，使得

乙典型例题

一．求二元函数的定义域

例1．求函数的定义域

解：要求即；
又要求即或
综合上述要求得定义域
或
例2．求函数的定义域

二．有关二元复合函数
例1．设，求
解：设，解出，
代入所给函数化简
故

例2．设，求

例3．设，当时，，求函数和

例4．设，当时，，求函数和。

三．有关二元函数的极限
例1．讨论（常数）
解：原式
而
又
原式
例2．讨论

例3．讨论

例4．讨论

§6．2多元函数的偏导数与全微分

甲内容要点
一．偏导数

1．定义

设二元函数
若存在，则记以，或
或称为在点处关于的偏导数。
同理，若存在，则记以，或
或称为在点处关于的偏导数。
类似地，设
即
即
即

2．二元函数偏导数的几何意义

表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率；表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率

3．高阶偏导数

设的偏导数和仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为的二阶偏导数，共有四种。

当，在处为连续则
也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。
类似地可以讨论二元函数的三阶及阶偏导数。
也可以讨论元函数的高阶偏导数。

二．全微分

1．二元函数的可微性与全微分的定义

设在点处有全增量

若
其中不依赖于只与有关，
则称在处可微，而称为在处的全微分，记以或

2．二元函数的全微分公式

当在处可微时
则

这里规定自变量微分，
一般地

3．二元函数全微分的几何意义

二元函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上的点的竖坐标的增量。

4．元函数的全微分公式

类似地可以讨论三元函数和元函数的可微和全微分概念，在可微情况下

三．偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系

设，则连续存在

四．方向导数与梯度（数学一）

1．平面情形

在平面上过点沿方向的方向导数

在点处的梯度为

而方向导数与梯度的关系为

由此可见，当的方向与的方向一致时，为最大，这时等于又方向导数与偏导数的关系为

这相当用两向量的点乘的坐标公式

2．空间情形（略）

§6．3多元函数微分法

甲内容要点

一．复合函数微分法——锁链公式

模型1．，，
；

模型2．，

模型3．，，

模型4．，，

还有其它模型可以类似处理

二．隐函数微分法

设
（1）确定则；
（2）确定则；
（3）确定则；
乙典型例题

例1．设有连续的一阶偏导数，又函数及分别由下列两式确定
和，求

答案：

例2．设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求
答案：

§6．4多元函数的极值和最值

甲内容要点
一．求的极值

第一步求出驻点
第二步令
若则不是极值
若则不能确定（需从极值定义出发讨论）
若则是极值
进一步若则为极小值
若则为极大值

二．求多元函数条件极值的拉格朗日乘子法

求的极值
约束条件