高数辅导讲义7.doc

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§8．1常数项级数

甲内容要点
一．基本概念与性质
1．基本概念
无穷多个数，依次相加所得到的表达式

称为数项级数（简称级数）

称为级数的前项的部分和。
称为部分和数列。
若，则称级数是收敛的，且其和为，记以
若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。）

2．基本性质

（1）如果和皆收敛，为常数，则
收敛，且等于
（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。
发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
（4）级数收敛的必要条件是。
（注：引言中提到的级数，具有不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故发散。调和级数满足，但却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）

当时，收敛；
当时，发散。
（2）—级数

当时，收敛；
当时，发散。
（注：时，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知。）

二．正项级数敛散性的判别法
若则称为正项级数，这时

所以是单调增加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界。
因此收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础。从而也是正项级数其它判别法的基础。

1．比较判别法

设，当时，皆成立。
如果收敛，则收敛；
如果发散，则发散。

2．比较判别法的极限形式

设，，
若
（1）当时，与同时收敛或同时发散。
（2）当时，若收敛，则收敛。
（3）当时，若收敛，则收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔）

设，而
（1）当时，则收敛。
（2）当（包括）时，则发散。
（3）当时，此判别法无效。
（注：如果不存在时，此判别法也无法用。）

4．根值判别法（柯西）

设，而
（1）当时，则收敛。
（2）当（包括）时，则发散。
（3）当时，此判别法无效。
事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在情形都无能为力，数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作要求。

三．交错级数及其莱布尼兹判别法
1．交错级数概念

若，称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法

设交错级数满足：
（1）
（2）
则收敛，且

四．绝对收敛与条件收敛

1．定理

若收敛，则一定收敛；反之不然。

2．定义

若收敛，则称为绝对收敛；
若收敛，而发散，则称为条件收敛。

3．有关性质

（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。
（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即或一定是发散的。

4．一类重要的级数

设
（1）当时，是绝对收敛的。
（2）当时，是条件收敛的。
（3）当时,是发散的。

乙典型例题

一．主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性

例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。
（1）
（2）

二．主要用判别法讨论级数的敛散性

1．正项级数情形

例1．若级数收敛，则
（1）收敛
（2）收敛
（3）收敛
证：(1)收敛，取，存在，
当时，，于是再用比较判别法，
由收敛可知收敛
（2）（几何平均值算术平均值）
已知收敛，收敛，故收敛，
再用比较判别法，可知收敛
（3），
已知收敛，用比较判别法可知收敛。
例2．判别下列级数的敛散性
（1）(常数)（2）
解：用比值判别法
（1）

当，则，故级数收敛
当，则，故级数发散
当时，，比值判别法无效
但这时，即
那么收敛的必要条件一定不满足，故级数也发散
（2）

故级数收敛

§8．2幂级数

甲内容要点

一．函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）

1．函数项级数概念

设皆定义在区间上，则称为区间上的函数项级数

2．收敛域

设，如果常数项级数收敛，则称是函数项级数的收敛点，
如果发散，则称是的发散点。
函数项级数的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。
所有发散点构成的集合称为发散域。

3．和函数

在的收敛域的每一点都有和，它与有关，因此
，收敛域
称为函数项级数的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。

二．幂级数及其收敛域

1．幂级数概念

称为的幂级数，称为幂级数的系数，是常数。
当时，称为的幂级数。
一般讨论有关问题，作平移替换就可以得出有关的有关结论。

2．幂级数的收敛域

幂级数的收敛域分三种情形
（