一2013考研数学高分导学班讲义(汤家凤).doc

2013考研数学高分导学班讲义
线性代数部分—矩阵理论
一、矩阵基本概念
1、矩阵的定义—形如，称为矩阵，记为。
特殊矩阵有
（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算
（1）矩阵加、减法：
，则
。
（2）数与矩阵之积：
。
（3）矩阵与矩阵之积：
设，则
，其中（）
【注解】
（1）不一定有或。
（2）矩阵乘法没有交换律。
（3）含方阵的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是。
（4）设，则定义，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。
二、方程组的矩阵形式及解的概况
方程组的基本形式为
（1）
称（1）为齐次线性方程组。
（2）
称（2）为非齐线性方程组。
令，，，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式：
（1）
及
（2）
对方程组（1）：
【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。
【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。
对方程组（2）：
【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。
【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。
【例题3】讨论方程组解的情况，并分析原因。
三、矩阵问题的产生
初一数学问题：解一元一次方程
情形一：当时，两边同时乘以得，于是；
情形二：当时，方程无解；
情形三：当时，方程有无数个解。
线性方程组的类似问题：讨论方程组的解
情形一：是阶方阵，且存在，使得
由两边左乘得，于是；
情形二：虽然是阶矩阵，但不存在，使得
方程组是否有解及解的情况；
情形三：是矩阵，且
方程组是否有解及解的情况。
【注解】
（1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。
（2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。
四、矩阵两大核心为题
（一）逆阵
1、定义—设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得，则称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为。
2、两个问题
【问题1】给定一个阶矩阵，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？
【问题2】若阶矩阵可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？
3、矩阵可逆充分必要条件
定理设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是。
4、求矩阵逆阵的方法
方法一：伴随矩阵法（略）
方法二：初等变换法
第一步方程组的三种同解变形
（1）对调两个方程的位置方程组的解不变；
（2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变；
（3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。
第二步矩阵的三种初等行变换
（1）对调矩阵的两行；
（2）矩阵的某行同乘以一个非零常数；
（3）矩阵某行的倍数加到另一行。
第三步三种初等矩阵
（1）—单位矩阵的行与行对调或者列与列对调所得的矩阵。
性质：1）；2）或者；
3）为将的行与行对调所得的矩阵，为将的列与列对调所得的矩阵。
（2）—单位矩阵的行乘以或单位矩阵的列乘以。
性质：1）；2）；
3）为将的行乘以非零常数所得到的矩阵，为将的列乘以非零常数所得到的矩阵。
（3）—单位矩阵的行的倍加到行或者单位矩阵的列的倍加到列所得到的矩阵。
性质：1）；2）；
3）为将的行的倍加到行所得到的矩阵，为将的列的倍加到列所得到的矩阵。
第四步三个问题
【问题1】设为阶可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为单位矩阵？
【问题2】设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为？
【问题3】设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等变换化为？
第五步初等变换法求逆阵及两个相关的定理
定理（初等变换法求逆阵）设为阶可逆矩阵，则可以经过有限次初等行变换化为初等矩阵。

（二）矩阵的秩（记住：在方程组中矩阵的秩本质上就是约束条件）
1、定义—设为矩阵，若存在一个阶非零子式，但所有的阶子式（如果有）都是零，则称为的秩，记为。
【注解】
（1）任何矩阵的秩都既不超过其行数也不超过其列数。设为矩阵，则
。
（2）设为阶矩阵，若，则，称为满秩矩阵。矩阵可逆、满秩及非奇异等价。
2、矩阵秩的求法
将矩阵进行初等行变换阶梯化所得的非零行数即为矩阵的秩。
【注解】
（1）的充分必要条件是。
（2）的充分必要条件是。
（3）的充分必要条件是至少有两行不成比例。
（4）设，则。

3、矩阵秩的性质
（1）。
（2）设为同型矩阵，则。
（3），等价于。
（4）设为矩阵，为矩阵，且，则。
（5）设为矩阵，为阶可逆阵，为阶可逆阵，则有
。
【矩阵秩例题】
【例题1】设皆为三维列向量，，证明：。
【例题2】设为阶可逆阵，证明的逆阵是唯一的。
【例题3】设为矩阵，为矩阵，其中，且，证明：。
【例题