2013考研数学高分导学班讲义(汤家凤).pdf

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课程配套讲义说明

1、配套课程名称

2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）

2、课程内容

此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。此课程

包含线代和高数，请各位学员注意查看。

3、主讲师资

汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国

唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。汤老师对数学有

着极其精深的研究，方法独到。汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳

总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正

确的解题方法。

严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！

主讲：高等数学、线性代数。

4、讲义

20页（电子版）

文都网校

2011年9月15日

1

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aaabbb
11121n11121s
a21a22a2nb21b22b2s
设A,B，则



am1am2amnbn1bn2bns
ccc
11121s
c21c22c2s
ABC，



cm1cm2cms

其中cijai1b1jainbnj（i1,2,,m;j1,2,,n）

【注解】
（1）ABO不一定有AO或BO。
（2）矩阵乘法没有交换律。

（3）含方阵AB,的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是ABBA。

nn
（4）设f()xanxa1x1a0，则定义f()AanAa1Aa0E，且关于矩阵A

的矩阵多项式可因式分解。

二、方程组的矩阵形式及解的概况

方程组的基本形式为

a11x1a12x2a1nxn0

a21x1a22x2a2nxn0
（1）


am1x1am2x2amnxn0
称（1）为齐次线性方程组。

a11x1a12x2a1nxnb1

a21x1a22x2a2nxnb2
（2）


am1x1am2x2amnxnbm
称（2）为非齐线性方程组。
aaaxb
11121n11
a21a22a2nx2b2
令A，，Xb，则（1）、（2）可分别表示为矩阵



am1am2amnxnbm
3

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四、矩阵两大核心为题
（一）逆阵
1、定义—设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得BAE，则称A为可逆矩阵，B称为A

的逆矩阵，记为BA1。

2、两个问题
【问题1】给定一个n阶矩阵A，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？
【问题2】若n阶矩阵A可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？
3、矩阵可逆充分必要条件

定理设A为n阶矩阵，则A可逆的充分必要条件是|A|0。

4、求矩阵逆阵的方法
方法一：伴随矩阵法（略）
方法二：初等变换法
第一步方程组的三种同解变形
（1）对调两个方程的位置方程组的解不变；
（2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变；
（3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。
第二步矩阵的三种初等行变换
（1）对调矩阵的两行；
（2）矩阵的某行同乘以一个非零常数；
（3）矩阵某行的倍数加到另一行。

第三步三种初等矩阵

（1）Eij—单位矩阵的i行与j行对调或者i列与j列对调所得的矩阵。

12
性质：1）|Eij|10；2）EEijij或者EEij；

3）EAij为将A的i行与j行对调所得的矩阵，AEij为将A的i列与j列对调所得的矩阵。

（2）Ei(c)(c0)—单位矩阵的i行乘以c或单位矩阵的i列乘以c。
1
性质：1）|E(c)|c0；2）E1()(cE)；
iiic

3）Ei()cA为将A的i行乘以非零常数c所得到的矩阵，AEi()c为将A的i列乘以非零常数c所

得到的矩阵。

5

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（3）r(A)2的充分必要条件是A至少有两行不成比例。

a
1
a20,O
（4）设，则r()。
1,