函数解析式求法和值域求法讲义.doc

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函数解析式的七种求法
待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．
例1设是一次函数，且，求．
解：设，则
，．
．
配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域．
例2已知，求的解析式．
解：，，．
三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式．与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．
例3已知，求．
解：令，则，．
，
，．
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式．
解：设为上任一点，且为关于点的对称点．
则，解得：，
点在上，．
把代入得：．
整理得，．
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．
例5设求．
解=1\*GB3①
显然将换成，得：=2\*GB3②
解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得：．
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．
例7已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，
求．
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有．
再令得函数解析式为：．
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．
例8设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求．
解，
不妨令，得：，
又=1\*GB3①
令=1\*GB3①式中的x＝1，2，…，n－1得：
将上述各式相加得：，
，．
函数值域求法小结
1．重难点归纳．
(1)求函数的值域．
此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
(2)函数的综合性题目．
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
(3)运用函数的值域解决实际问题．
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
2．值域的概念和常见函数的值域．
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域．
常见函数的值域：
一次函数的值域为R．
二次函数，当时的值域为，
当时的值域为．
反比例函数的值域为．
指数函数的值域为．
对数函数的值域为R．
正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R．
3．求函数值域（最值）的常用方法．
一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）
1、求的值域．
解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：．
2、求函数的值域．
分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案．
解：0+11，0＜１，函数的值域为（0，1]．
二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）
1、求函数的值域．
解：设，配方得：．
利用二次函数的相关知识得，从而得出：．
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：．
2、若，试求的最大值。
解：本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大值．
易得：，y=1时，取最大值2．
三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。
1、求函数的值域．
解：因本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。
反解得即．
故函数的值域为：。（反函数的定义域即是原函数的值域）
2、求函数的值域．
解答：，因为，所以，算出值域为．
四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断）
1、求函数的值域．
解：由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原
函数变形为：整理得：
当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足，即此时方程有实根即△，
△．
注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）