教学资源五（函数的解析式与值域的求法）.doc

专题三函数的解析式与值域的求法函数的解析式的求法换元法例1．（1）已知f(3x+1)=4x+3,求f(x)的解析式.（2）若,求.（3）已知,求的解析式.（4）若,求.二．待定系数法例2．（1）设是一元二次函数,,且,求与.（2）设二次函数满足,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为,求的表达式.三．解方程组法例3．（1）设函数是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式,求的解析式.（2）若,求.四．利用给定的特性求解析式.例4．（1）设是偶函数,当x＞0时,,求当x＜0时，的表达式.（2）对x∈R,满足,且当x∈[－1,0]时,求当x∈[9,10]时的表达式.五．特殊值代入与归纳递推法例5．（1）若,且，求值.（2）设是定义在上的函数,且,，求的解析式.（3）设,记,求.函数值域的求法一.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。（1）求函数的值域。解：∵∴显然函数的值域是：（2）求函数的值域。解：∵。故函数的值域是：二.配方法例2.（1）求函数的值域。解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]三.判别式法例3.（1）求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为（2）求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。四.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例4.（1）求函数y=值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：（2）求函数的值域。解：由原函数式可得：∵∴解得：故所求函数的值域为（3）.求函数的值域。（也可用数型结合）解：由原函数式可得：，可化为：y3)x(sin1y2即1yy3)x(sin2∵∴即解得：故函数的值域为五.函数单调性法例5.（1）求函数的值域。解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：（2）求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为六.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例6.（1）求函数的值域。解：令，则∵又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为（2）求函数的值域。解：因即故可令∴∵故所求函数的值域为（3）求函数，的值域。解：令，则由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。（4）求函数的值域。解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：七.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。（1）求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：（2）求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为（3）求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。八.多种方法综合运用例8.求函数的值域。解：令，则（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法巩固练习1．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4