高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限.doc

第一部分函数、极限、连续

一、函数
内容要点
一、函数的概念
1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数
二、复合函数与初等函数
三、高等数学中常出现的非初等函数
1．用极限表示的函数
(1)
(2)
2．用变上、下限积分表示的函数
(1) 其中连续，则
(2) 其中可导，连续，
则
四、函数的几种性质
有界性：
奇偶性：
单调性：
周期性：
典型例题
一、定义域与值域
二、求复合函数有关表达式
例1设，求
解：，
若，则
根据数学归纳法可知，对正整数，
例2已知，且，求
解：令，，因此，

，∴
三、有关四种性质
例1设，则下列结论正确的是[]
（A）若为奇函数，则为偶函数
（B）若为偶函数，则为奇函数
（C）若为周期函数，则为周期函数
（D）若为单调函数，则为单调函数
例2求
解是奇函数，
是奇函数，

因此是奇函数
于是
例3设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 []
（A） （B）
（C） （D）
四、函数方程
例1．设在上可导，，反函数为，且，求。
解：两边对求导得，于是，故，，由，得，则。

例2设满足，求
解：令，则
，
，
，
……
，
各式相加，得
，∴

因此，于是
或（k为整数）
二、极限
内容要点
一、极限的概念与基本性质
二、无穷小
常见的等价无穷小，当时
，，，，，，，。
三、求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1：单调有界数列极限一定存在
准则2：夹逼定理
3．两个重要公式
公式1：
公式2：；；
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式
当时，

6．洛必达法则
法则1：（型）设（1）
（2）变化过程中，，皆存在
（3）（或）
则（或）
法则2：（型）设（1）
（2）变化过程中，，皆存在
（3）（或）
则（或）
7．利用导数定义求极限
基本公式：[如果存在]
8．利用定积分定义求极限
基本公式 [如果存在]
9．变量替换
10．其它综合方法
11．求极限的反问题有关方法

典型例题
一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限
二、用两个重要公式
例1求
解：当，原式=1
当时，原式

=…

三、用夹逼定理求极限
例1求
解：令，，
则，于是
由夹逼定理可知：，于是原极限为0
例2求
解：
而

由夹逼定理可知
例3．求。(2003)

四、用定积分定义求数列的极限
例1．求
分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑

而，
由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑
解：

例2.求
解：
而

由夹逼定理可知，

五、用洛必达法则求极限
1．型和型
例1．求
解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反而增加）
为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令
于是（型）

例2．(2003)
例3．计算：。（2004）
例4．计算：。（2005）
2．型和型
例1求
例2设，常数。求
3．“”型，“”型和“”型
例1求
例2设，常数，求
六、求分段函数的极限

七、用导数定义求极限

例1设曲线与在原点相切，求
解：由题设可知，
于是

八、递推数列的极限
例1设，，证明存在，并求其值。
九、变量替换

十、求极限的反问题
例1设，求和
解：由题设可知，，再由洛必达法则得

例2设在内可导，，，且满足，求。
解：

因此，，，
，由，可知
则

十一、用等价无穷小量
已知，求a,b的值。

例3.求极限。(2002)

三、连续
内容要点
一、函数连续的概念
二、函数的间断点及其分类
三、初等函数的连续性
四、闭区间上连续函数的性质
典型例题
一、讨论函数的连续性
例1讨论函数

在点处的连续性。

二、间断点问题

三、用介值定理讨论方程的根
例1证明五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。
例2设在上连续，且。求证：在上至少存在一点使（正整数）
证：令，
则

于是
（ⅰ）如果有为0，则已经证明
∵，成立。
（ⅱ）如果全不为0，
则不可能同号，否则相加后不为0，矛盾。
所以其中一定有异号，不妨假设，与异号。
根据介值定理推论存在使
则，使成立。
证明：若对任意实数，有，且在处连续，则在区间上连续。