函数、极限与连续(高等数学).ppt

函数
的定义1、函数的定义▲函数的两要素:▲函数的定义域
在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。例：求下列函数的定义域解例.设,求下列函数值(1)函数的奇偶性:(2)函数的单调性:(3)函数的有界性:设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.6、基本初等函数1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.三角函数余弦函数正切函数余切函数5.反三角函数2021/5/272021/5/27幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.7、复合函数1、极限左极限函数的极限与左、右极限有如下关系：定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中
有极限，则其极限是唯一的．定理(保号性)无穷小:性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.一、无穷小量
二、无穷小的性质
三、极限与无穷小的关系
四、无穷大量
五、无穷小与无穷大的关系
六、小节定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.例如函数时的无穷小，但当
时不是无穷小。(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.例3三、无穷小与函数极限的关系:定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值无限增大，则称f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作特殊情形：正无穷大，负无穷大．简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.六、小结定理4、求极限的常用方法求极限方法举例小结:解解练习分母有理化，分子有理化例5例6小结:练习例7例8例9说明：一个重要的结论5、判定极限存在的准则(1)=0例1例3练习：(2)例4例题例5定义:定理(等价无穷小替换定理)几个重要的等价无穷小：例例1、连续的定义从而，例12021/5/272.单侧连续例24.连续函数与连续区间5、间断点的定义1.跳跃间断点2.可去间断点解跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.3.第二类间断点例例所以x=1是函数的可去间断点解例7、闭区间的连续性定理定理基本初等函数在定义域内是连续的.定义:四个定理例1例2