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数学分析课程教学大纲

（MathematicalAnalysis）

课程性质：学科基础课
适用专业：数学与应用数学
先修课程：高中数学
后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积
分方程、非线性分析
总学分：18
教学目的与要求：
1.通过本课程的讲授与作业，应使学生：
（1）对极限思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点；
（2）正确理解数学的基本概念，基本掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能
和初步应用的能力。
2.本课程要求总学时数为300学时，其中讲授课约220学时，习题课约80学时。下面各节
标题后所列时数指讲授时数。
3.本大纲附有课程标准（教学要求），供授课时按学生水平、教学计划实际课时数灵活掌握。
4.实施本大纲时应密切关注中学数学教材的变化，随时调整教学内容。

一.实数集与函数（8学时）

实数集，Archimedes性质，区间与邻域。
函数（映射，包括单、满、双射），反函数，复合函数，初等函数，一些特殊类型的函
数（奇、偶函数，周期函数，有界函数，单调函数）。
有界数集，确界原理，涉及确界的一些运算，否定。
注：1.“涉及确界的一些运算”指涉及sup(A∪B),sup(A+B),sup(lA)等的一些结果。
2.“否定”指逻辑中关于“和”与“或”、“所有”与“存在”的两个否定法则。

二.极限（24学时）

收敛数列及其性质，定向发散数列，扩张的实数系。
1
单调数列的极限，lim(1+)n。
nn
闭区间套定理，数集的聚点及聚点定理，数列的极限点与收敛子列定理，数列的Cauchy
准则，*数列的上、下极限。
sinx
函数的极限及其性质Heine定理，单调函数的极限，函数极限的Cauchy准则，lim,
x®0x
1
lim(1+)x,复合函数的极限，无穷小量、无穷大量及其阶。
x®¥x

注：1.注意收敛数列与定向发散数列、数列极限与函数极限在处理上的一致性。
2.建议证明确界原理Þ有界单调列定理ÞArchimedes性质＋闭区间套定理Þ聚点定理
Þ收敛子列定理ÞArchimedes性质＋Cauchy准则。

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三.连续函数（10学时）

函数的连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质和四则运算，复合函数与反函
数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质－有界性、介值性、最值性、一
致连续性。

四.一元函数微分学（22学时）

导数与导函数，求导法则，基本初等函数的导数，高阶导数及其法则，由参数方程表
示的函数的导数，无穷导数。
微分与高阶微分。
极值与Fermat定理，Darboux定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，
中值定理的一些应用（判断函数的单调性，证明恒等式与不等式等），L’Hospital法则，Taylor
公式。
凸函数及其判定法则，Jensen不等式及其应用，凸函数的连续性与可微性。
极值的充分条件，最大、最小值，拐点，渐近线，函数图象的作法，*方程的近似解。
注：1.微分学的教学中应注意解决中学数学中的遗留问题。
f(x)
2.应向学生说明对应用L’Hospital法则时可以只要求g(x)®¥。
g(x)

3.微分及Taylor公式对近似计算的应用并入Taylor级数。

五.一元函数积分学（32学时）

原函数与不定积分，分解积分法，换元积分法，分部积分法，有理函数积分法，三角
函数有理式积分法，简单的无理函数积分法，积分表的用法。
定积分，Newton-Leibniz公式，可积性条件与可积函数类。
定积分的性质（线性与不等式性质，区间可加性，换元积分法，分部积分法，第一、
二积分中值定理等）。
微积分基本定理，*上、下积分。
广义积分及其性质，用定义、换元、分部积分计算广义积分，广义积分收敛性的判别
法。
可加区间函数，微元法，定积分应用举例（简单平面图形的面积，已知截面面积函数
的立体体积，旋转体体积，曲线弧长，功、压力、平均值等）。
注：1.可以说明用积分定义对数函数，并由它定义指数函数、幂函数的方法。
2.建议两种广义积分的定义统一处理。
3.可积性条件仍以证明为宜。

六．数项级数（12学时）

级数，收敛级数及其性质，Cauchy准则。
绝对收敛级数及其判别法（比较判别法、检比法、检根法、*Raabe判别法）。
收敛的其它判别法（Leibniz、Dirichlet、Abel判别法），数项级数与广义积分的关系，
积分判别法，*Gauss判别法。

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