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数学分析课程教学大纲

课程名称：数学分析

英文名称：MathematicalAnalysis

课程编号：x2080064
学时数：256

其中实验（实训）学时数：0课外学时数：0

学分数：16.0
适用专业：信息与计算科学

一、课程的性质和任务

数学分析是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课，是许多后继课程，如：复变

函数、概率论与数理统计、常微分方程、数值分析、数学物理方程等课程必备的基础，是数

学系本科一、二年级学生的必修课。

学生通过对本课程的系统学习与严格的训练，使学生全面掌握数学分析的基本理论知

识；培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力；使学生具备熟练的运算能力与技巧；提

高学生建立数学模型，应用微积分这一数学工具解决实际应用问题的能力。

二、课程教学内容的基本要求、重点和难点

（一）集合与映射

理解集合及其相关概念、映射的概念；掌握集合的运算及实数集合的表示法，函数的表

示法与函数的一些基本性质；熟练掌握基本初等函数。

重点：集合、映射的概念，基本初等函数。

难点：基本初等函数及其基本性质。

（二）数列极限

掌握数列极限的概念与定义、无穷大量和无穷小量的概念；掌握数列的收敛准则；理解

实数系具有连续性的分析意义，实数系的一系列基本定理。熟练掌握数列极限的计算，利用

Stolz定理计算数列极限。
重点：数列极限的概念，上（下）确界、无穷大（小）量的概念，数列的收敛准则，实

数系的基本定理。

难点：计算数列极限，判断数列的敛散性。

（三）函数极限与连续函数

掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭

区间上连续函数的基本性质；熟练掌握函数极限的计算；掌握连续函数的一些基本命题的证

明；理解函数一致连续的概念。

重点：函数极限、函数连续、一致连续的概念，函数极限与数列极限的关系，闭区间上

连续函数的基本性质，函数极限的计算。

难点：函数极限的计算，函数一致连续、闭区间上连续函数的有关判断、证明。

（四）微分

理解微分、导数、高阶微分和高阶导数的概念、性质及相互关系；熟练掌握求导与求微

分的方法；理解高阶导数的Leibniz公式。

重点：微分、导数、高阶微分与高阶导数的概念及计算，复合函数、隐函数、参数形式

函数的导数计算。

难点：复合函数、隐函数的导数计算。

（五）微分中值定理及其应用

掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并能应用于函数性质的研究；熟练掌握运用

L＇Hospital法则计算函数极限，求解函数的极值及其作图问题。

重点：微分中值定理与函数的Taylor公式，L＇Hospital法则，函数的极值与函数作

图问题。难点：应用微分中值定理证明有关问题，运用L＇Hospital法则计算极限，求

解函数的极值。

（六）不定积分

掌握不定积分的概念与运算法则；熟练掌握应用换元法和分部积分法求解不定积分；掌

握求有理函数与部分无理函数不定积分的计算方法。

重点：不定积分的计算，应用换元法和分部积分法计算不定积分。

难点：利用换元法和分部积分法计算不定积分，有理函数与部分无理函数不定积分的计

算方法。

（七）定积分

理解定积分的概念；掌握微积分基本定理（Newton—Leibniz公式）；熟练掌握定积分
的计算，能运用微元法解决几何、物理等实际应用问题。

重点：函数可积性的讨论，定积分的计算，利用定积分计算几何、物理与实际应用中的

问题。

难点：函数可积性的讨论，利用定积分计算及其在实际问题中的应用。

（八）反常积分

理解反常积分的概念；掌握反常积分的收敛判别法及计算。

重点：反常积分的概念及计算，反常积分的收敛判别法。

难点：反常积分的收敛判别法。

（九）数项级数

掌握数项级数敛散性的概念；理解数列上级限与下极限的概念；掌握运用各种判别法判

别正项级数、任意项级数及无穷乘积的敛散性。

重点：数项级数敛散性，上（下）极限的概念，正项级数、任意项级数与无穷乘积的敛

散性的判别。

难点：正项级数、任意项级数敛散性的判别。

（十）函数项级数

掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念、一致收敛性的判别法及一致收敛级数的

性质；掌握幂级数的性质，将函数展开为幂级数；了解函数的幂级数展开的重要应用。

重点：函数项级数（函数序列）一致收敛性、幂级数的概念，幂级数的性质，幂级数的

展开及其应用。

难点：一致收敛性的判别，函数的幂级数的展开。

（十一）Euclid空间上的极限和连续

了解Euclid空间的拓扑性质；掌握多元函数的极限与连续性的概念及其与一元函数对

应概念之间的区别；理解紧集上连续函数的性质。

重点：多元函数的极限与连