实变函数大纲.doc

普通高等教育“十二五”规划教材
新世纪新理念高等院校数学教学改革与教材建设精品教材
《实变函数》编写大纲
新世纪以来，我国高等教育倡导高校要国际化，教学要信息化，要将研究性教学、创新性教学、实用性教学与传统性教学相结合。
“十二五”开局之初，国家将提高人才培养质量，加强素质教育等多个人才培养目标提高到了一个前所未有的高度，这也引起了全国几乎所有高校的课程改革和调整，导致了传统的数学课时被大量的压缩和削减。但是，作为一本优秀的数学教材，其完整的学科体系又要求必须要包含那么多的内容和深度，这与高校数学教学的现状必然相矛盾。在这样的新形式下，我们的教材编写思路需要作出调整。针对这一现状，我们拟定编写《实变函数》一书，以期在这方面做一些尝试，主要想突出以下特色：
1.对原有传统内容进行优化、精简、取舍，并寻求更优的引入方法、组织方法和介绍方法。
2.注重实用性。从教学的角度出发，新的教材要尽可能的适应不同层面的老师和学生。
要最大限度的服务于学校自主性学习和研究性学习形式的开展。
编写目录如下（三级标题目录）：
第1章集合（字数：约3万字）
1.1集合运算
1.1.1集合的概念
1.1.2集合的运算
1.1.3集合列的极限集
1.1.4集类
1.2集合的基数
1.2.1映射
1.2.2集合的基数
1.2.3Bernstein定理
1.3可数集合
1.3.1可数集概念
1.3.2可数集性质
1.4不可数无穷集
1.4.1不可数无穷集
1.4.2连续基数
1.5集合与函数
1.5.1特征函数
1.5.2集合与函数
习题1（会上讨论并确定题型、题量）

第2章维空间中的点集（字数：约3万字）
2.1聚点、内点、边界点、Bolzano—Weierstrass定理
2.1.1聚点
2.1.2内点
2.1.3边界点
2.1.4Bolzano—Weierstrass定理
2.2开集、闭集与完备集
2.2.1开集
2.2.2闭集
2.2.3完备集
2.3博雷尔集
2.3.1博雷尔集概念
2.3.1博雷尔集性质
2.4p进位小数
2.5开集的构造
2.5.1开集的构造
2.5.2一维开集、闭集和完备集的构造
2.6点集间的距离
2.5.1点集间的距离
2.5.2隔离性定理
习题2

第3章测度理论（字数：约5万字）
3.1外测度
3.1.1外测度概念
3.1.2外测度性质
3.2可测集合
3.2.1可测集合概念
3.2.2可测集合性质
3.3开集的可测性
3.3.1区间的可测性
3.3.2开集的可测性
3.4乘积空间
3.4.1乘积空间的区间
3.4.2乘积空间的可测集
3.5集合环上的测度
3.5.1集合环与环上的测度
3.5.2外测度与测度的延拓
3.5.3Hausdorff测度与维数
习题3

第4章可测函数（字数：约5万字）
4.1可测函数的定义及其简单性质
4.1.1简单函数
4.1.2非负可测函数
4.1.3可测函数概念
4.1.4可测函数性质
4.2依测度收敛
4.2.1依测度收敛概念
4.2.2依测度收敛简单性质
4.3可测函数列的收敛关系
4.3.1Egroff定理
4.3.2Lebesgue定理
4.3.3Riesz定理
4.4可测函数的结构
4.4.1Lusin定理
4.4.2一维空间的Lusin定理
习题4

第5章积分理论（字数：约6万字）
5.1非负简单函数的勒贝格积分
5.1.1非负简单函数的勒贝格积分
5.1.2非负简单函数的勒贝格积分简单性质
5.2非负可测函数的勒贝格积分
5.2.1非负可测函数的勒贝格积分
5.2.2非负可测函数的勒贝格积分简单性质
5.2.3Levi定理
5.2.4Lebesgue基本定理
5.2.5Fatou引理
5.3一般可测函数的勒贝格积分
5.3.1勒贝格可积函数概念
5.3.2勒贝格可积函数简单性质
5.3.3积分的绝对连续性
5.3.4勒贝格控制收敛定理
5.3.5黎曼积分与勒贝格积分
5.4重积分与累次积分
5.4.1Fubini定理
5.4.2Fubini定理的应用
5.5微分与不定积分
5.4.1不定积分
5.4.2单调函数可微性
5.4.3有界变差函数
5.4.4绝对连续函数
5.5.5积分变量替换公式
5.5一般测度空间上的Lebesgue积分
5.5.1简单函数的Lebesgue积分
5.5.2非负可测函数的Lebesgue积分
5.5.3一般可测函数的Lebesgue积分
5.5.4Lebesgue积分收敛定理
习题5

习题参考答案（字数：约1万字）

参考文献

总字数：约为23万字

注：以上数字均按版面字数计算，请各位作者严格按照大纲规定控制字数，上下浮动不超过10%.
版面字数的计算：每一个页面所能排的行×每行字数（即列数）×面数；（行数和列数均用手数，