2012考研必备 多元函数积分学4 金典.pdf

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资料多元函数积分学

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1
§3三重积分的计算
三、球坐标系下三重积分的计算
空间任意一点M(x,y,z)还可以用球面坐标
唯一定位、表示。
z球面坐标系如下构成：
ρ=ρ∗球心都在原点的同心球面族；
∗
ϕ=ϕ顶点在原点,对称轴为z轴,半顶角
为ϕ的圆锥面族；
θ=θ∗从z轴发出的射面族,与xoz坐标
面夹角为θ.
2
3
z
直角坐标到球面坐M=(ρ,ϕ,θ)
标的变换公式：
z
x=ρsinϕcosθϕM(x,y,z)
ρ
yy
y=ρsinϕsinθo
θ
z=ρcosϕx
xM(x,y,0)
其中
0≤ρ<+∞,0≤ϕ≤π,0≤θ≤2π.

4
5
容易算出，直角系与球系有关系式：
x2+y2+z2=ρ2,x2+y2=ρ2sin2ϕ,
®从直角坐标变换成球
坐标计算三重积分:
n体积微元的变化
dv=ρdϕ⋅ρsinϕdθ⋅dρ
dv=ρ2sinϕdϕdθdρ

6
o积分区域的变化：Vxyz→Vρϕθ(见例)；
p被积函数作相应变化。
z球坐标系下三重积分的计算式⇒
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz
V
=∫∫∫f(ρsinϕcosθ,ρsinϕsinθ,ρcosϕ)ρ2sinϕdρdϕdθ
Vρϕθ

βϕ1(θ)ρ2(ϕ,θ)
=∫∫dθdϕ∫f()ρ2sinϕdρ
αϕ1(θ)ρ1(ϕ,θ)

7
例6计算x2+y2+z2dxdydz,其中Ω由
∫∫∫Ωz
z=x2+y2+z2围成。1
解首先，应将边界曲面
1
的直角坐标方程化成球2⋅
ϕρ
坐标下的相应形式
oy
222θ
z=x+y+z→ρ=cosϕx
因此，换成球坐标系表示的积分区域为：
π
Ω={(ρ,ϕ,θ)0≤ρ≤cosϕ,0≤ϕ≤,0≤θ≤2π}
2
8
x2+y2+z2dxdydz
∫∫∫Ω
=ρ⋅ρ2sinϕdρdϕdθ
∫∫∫Ω
ρϕθ
π
2πcosϕ
=dθ2dϕρ3sinϕdρ
∫0∫0∫0
π4
2πρcosϕ
=dθ2sinϕdϕ
∫0∫040
π
π
1π2π
=2π⋅2cos4ϕsinϕdϕ=−cos5ϕ=
∫0
410010

9
1y−y23(x2+y2)
例7设I=dydxF(x2+y2+z2)dz
∫0∫−y−y2∫0
将此三重积分分别化成柱坐标系和球坐标系
下的累次积分。
解0≤z≤3(x2+y2)
,0≤y≤1.
Ωxyz:
−y−y2≤x≤y−y2
n在柱坐标系下：
0≤z≤3(x2+y2)0≤z≤3r

x=±y−y2x2+y2=yr=sinθ

10
(0,1,3)
0z3r,-1
≤≤0-0.5
Ω:10.5
rθz0≤r≤sinθ,0≤θ≤π
1.5
I=F(x2+y2+z2)dxdydz
∫∫∫1
Ωxyz
0.5
=F(r2+z2)rdrdθdz
∫∫∫0
-1
Ω-0.50
rθz0.51
πsinθ3rx
=dθrdrF(r2+z2)dz
∫0∫0∫0

11
o在球坐标系下：
关键是分析边界曲面及积分限的变化

柱面x2+y2=yρ2sin2ϕ=ρsinϕsinθ
sinθ
ρ=0≤θ≤π;
sinϕ
y
锥面z=3(x2+y2)o
θ
对应点(0,1,3),可定出ϕ的范围
x

12
y1π
∵当x=0,=tanϕ=,ϕ1=,
z36
π
而z=0,对应ϕ=,
22
于是在球系下化为累次积分⇒
I=∫∫∫F(x2+y2+z2)dxdydz
Ωxyz
=∫∫∫F(ρ2)ρ2sinϕdρdϕdθ
Ωρϕθ
πsinθ
π
2sinϕ22
=dθπdϕF(ρ)ρsinϕdρ
∫0∫∫0
6

13
例用三种方法将三重积分z2dv
8∫∫∫Ω
化为累次积分并计算之,设积分区域为
Ω={(x,y,z)x2+y2+z2≤R2,x2+y2+(z−R)2≤R2}.

-0.5
0
0.5解n用直角系(截面法)
1

2
0.75I=zdv
∫∫∫Ω
0.5
R
0.25=dzz2dσ
0∫0∫∫σ
z
-0.500.5

14
R/2R
=z2dzdσ+z2dzdσ
∫0∫∫σ∫R/2∫∫σ
x2+y2≤2Rz−z2x2+y2≤R2−z2

R/2R
=z2⋅π[R2−(R−z)2]dz+z2⋅π[R2−z2]dz
∫0∫R/2

R/22R
⎛R415⎞⎛R315⎞595
=π⎜⋅z−z⎟+π⎜⋅z−z⎟=πR
⎝25⎠0⎝35⎠R/2480

见下页⇒

15
z
o用柱坐标系
Rz=R2−r2
2222
•R−R−r≤z≤R−r
3RR
(0,,)
⋅22Ω:0≤r≤3R/2
•
y
oR0≤θ≤2π
x3R
(0,,0)2
2
z=R−R2