2012年超越考研暑期强化班讲义多元函数积分学》练习题.pdf

P104-练习1设D:0x3,0y1,则minx,yd．
D

1y134
解minx,ydxdyddyxdxdyydx.
000y3
DDD12

P105-练习2设f(x,y)连续，且f(x,y)xyf(u,v)dudv，其中D由y0，yx2，
D

x1围成，求f(x,y)．
解：设f(,)uvdudvA，则f(,)xyxyA，两边在D上二重积分，有
D

1x21x21
Af(,)xydxdyxyAdxdydxxydyAdxdyA，
0000
DD8
1
则f(,)xyxy
8

P105-练习3计算Ix2y21d，其中D:0x1，0y1．
D
解：
I(1xyd22)(xyd221)(1xyd22)(xyd221)(xyd221)
DDDDD1211


1111
22d(1r2)rdrd(r21)rdr
000043

2
2x2
2xx
P105-练习4计算I[sindy]dx2[sindy]dx．
0xx
y2y

y2x
解：I[y2sindx]dy2(1)
0
2y

1

2224y
P106-练习5设函数f(x,y)连续，则dxfxydy(,)(,)dyfxydx（）．
1x1y

24x24x
（A）dxf(,)xydy（B）dxf(,)xydy
111x

24y22
（C）dyf(,)xydx（D）dyf(,)xydx
111y

2224y24y
解：dxfxydy,,dyfxydxdyfx,ydx
1x1y11

P106-练习6设平面区域D由直线yx，圆x2y22y及y轴所组成，则二重积分
xyd．（2011）
D


2sin
23252627
解：xydcossindrdr4cossind(sin)
0
D443412

P107-练习7计算Iyd，D由y0，y2，x2，x2yy2所围成．（1999）
D

解：Iydydyd4
2
DDDD11

22
P108-练习8计算Iy[1xexy]d，D由y1，yx3，x1围成．
D
解：如图

1x3
I2yd2ydydx
01
D3

16
x61dx
07

2

P108-练习9如图，正方形(x,y):x1,y1被其对角线划分为四个区域

Dki(k1,2,3,4)．令Ikycosxdxdy，则maxIk（）．
1k4
Dk

（A）I1（B）I2（C）I3（D）I4

解：由对称性Iycosxdxdy0，Iycosxdxdy0，
24
D2D4
在D上，ycosx0，所以Iycosxdxdy0，
11
D1
在D上ycosx0，所以Iycosxdxdy0故
33
D3

maxIIk1，选(A)
1k4

P113-练习10已知曲线L的方程为y1x,x[1,1]，起点是(1,0)，终点是(1,0)，则曲

线积分xydxx2dy．（2010）
L

解：L1:y1xx:10；L2:y1xx:01

01
xydxxdy2x(1xxdx)2x(1xxdx)20
LLL10
12

ydxxdy
P115-练习11I，其中L:x2y2R2(R0)正向．
Lx24y2

xRcost
解法1：L:,0t2，代入即可
yRsint

222
解法2：补L1:x4yr,0rR,顺时针，沿L与L1围成D，
由多连通区域的格林公式
QPydxxdyydxxdy
Id0d
222
xyLL1x4y1r
LLLLDD11

11QP12r
0ydxxdyd2dr
2222
L1
rrDDxyrr2
3

P118-练习12设曲面:xyz1，则(xy)dS．（2007）


解：1:xyz1