数期末复习必备-多元函数积分学——线积分 09624.pdf

第十章第十章(1)(1)
曲线积分
一、主要内容一、主要内容
z
曲线积分z=f(x,y)
1.背景O
y
(1)f(x,y)ds(f(x≥,y)0)
∫xL
L
1)以f(x,y)为线密度的曲线构件的质量；
2)以L为准线，f(x,y)为高，母线平行于z
轴的柱面段的面积:
S柱面面积=f(∫x,)yds.
L

目回上下停
r
(P2)x∫Qd+yd变力:F=(,)P沿所作的功QL.
L
2.计算法
(1)f∫x(,y,z)的计算sd
L
方法：1°性质①轴(或面)对称性
被积函数有相应
2°对称性的利用(
的奇偶性)
②轮换对称性
3°直接法(化为定积分)
下限<上限！

目回上下停
(2P)∫xd+Q的计算，dyL为平面有向曲线
L
方法：1°性质
2°直接法(化为定积分)
下限↔L的起点(下限不一定小于上限！)
(上)(终)
无奇点
①L封闭恒等变形
有奇点
3°格林公式挖洞
②L不封闭：补线法(所围闭区域
不含奇点)

目回上下停
4°积分与路径无关
要求：熟悉四个等价命题.
①特殊路径法
②原函数法

5°两类曲线的关系

目回上下停
(3P)∫xd+Qdy+R的计算，其中dz
L
L为空间有向曲线.

方法：1°性质
2°直接法(化为定积分)
3°原函数法

4°斯托克斯公式

目回上下停
曲线积分
对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分

定nPx(,)(,)ydx+Qdyxy
∫Ln
(f,x)y=dslimξiiηf(Δs,i)
义∫Lλ→0∑
=limξP[η(i,Δix)i+Qi(iξ,iηy)Δ]
i=1λ→0∑
i=1
联
dPdx+Q(=ycosαP+Qβcoss)d
系∫L∫L

f(x,)ydsPdx+Qdy
计∫L∫L
β
β22[(,)(,)]ϕ=ψPϕ′+Qϕψ′dtψ
=φ(f,ψ)′φ+′tψd∫α
算∫α
三代一定()α<β二代一定(与方向有关)

目回上下停
与路径无关的四个等价命题

条在单连通开区域PD(上x,y),Q(,x具有)y
件连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
(D1在)Pdx内+与路径无关Qdy
等∫L
价(2Pdx)+Qdy0=闭曲线,CD⊂
命∫C
D题(3)在U内存在xy(,)使du=Pdx+Qdy
∂P∂Q
(4在)D内,=
∂y∂x

目回上下停
对弧长的对弧长的对面积的对面积的
曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分
曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分
定定联系联系计算计算定定联系联系计算计算
义义义义

对坐标的对坐标的对坐标的对坐标的
曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分

目回上下停
二、常考题型二、常考题型
1.对称性的利用
例1(对称性的利用)
x2y2
(1设)L是椭圆+=1，其周长为a,求
43
(2∫xy+3x2+42y)ds.
L
(解x,当)y∈L时32x+42=y故12,
2∫（xy+3x2+422y(=)2d∫xy∫sdxys+12+12∫)sdsd
LLLL
2=0⋅+12∫s=12da.
L

目回上下停
x⎧2+y2+z2=,a2
(2I求)=∫x2ds,其中Γ为圆周⎨
Lx⎩+y+z0=.
解由轮换对称性,知
xds∫2=y∫2ds=∫2zds
ΓΓΓ
11
I故=x(2+y2+z)2=dsa2ds
3∫3∫
ΓΓ
a22πa3
=∫ds=.
3Γ3
(2aπ=∫ds球面大圆周长,)
Γ

目回上下停
(3)计算y∫ds,其中为双纽线：L
L
(x2+y)22=a(2x2−)y(常数2>a0).
y
的极坐标方程为：
解Lπ
θ=
ρ2=acos2θ24
o
1o求dsx
a2sinθ2
2()ρθ(ρ′)θ=−2a2sinθρ()′θ2=,−
ρ()θ
dsρ=()()θ2+ρ′2θdθ
2
(ρ)4θ(+−a2sinθ22)a
=dθ=dθ
ρ()θρ()θ

目回上下停
2o由轴对称性，

LQx关于轴对称，f(,)x−y=−=y(,)fxy
Ly关于轴对称，f(,)(,)x−y==yfxy

∴yds=4yds
∫∫(:LL1在第一象限部分)
LL1
πa2
=4y4ds=ρ4(θ)sin⋅θdθy
∫∫0
L1ρ()θ
π
2θ=
=4a2(1−)4
2ox

目回上下停
2.格林公式的利用

33
例2I计算=yd∫x(+3x−x)dy,y
L
L
其中L为圆周x2+y2=的负向2R.D
O
P解y=,3Q=3−x3xx
∂Q∂P
I=(−−)dx=[(dy−33x−2)y3−2]xdyd
∫∫∂x∂y∫∫
DD
2πR
=3−[1x(−2y+2)]x3d=y−ddθ(1−ρ2ρ)dρ
∫∫∫0∫0
D

目回上下停
2πR
3=−dθ(1−ρ2ρ)dρ
∫0∫0
3π
=