第11讲概率统计 王松桂.ppt

概率论与数理统计
第十一讲4.1.1离散型随机变量的数学期望若统计了100天小张生产产品的情况，发现：可以想象：若另外再统计100天，其中不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，即另外100天每天的平均废品数也不一定就是1.27。这是以频率为
权的加权平均定义1:设X是离散型随机变量,概率分布为
P{X=xk}=pk,k=1,2,…。在X取可列无穷个值时，级数绝对收敛
可以保证“级数之值不因级数各项次序的改
排而发生变化”，这样E(X)与X取值的人为排列次序无关。为求P{X=1}，考虑{X=1}的对立事件：{1号盒中没有球}，其概率为(3/4)3，因此于是，1.两点分布：X∼B(1,p),0<p<1，则
E(X)=1p+0(1-p)=p.例2：某种产品次品率为0.1。检验员每天检验4次,每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大于1,就调整设备。若各件产品是否为次品相互独立,求一天中调整设备次数的期望。用Y表示一天中调整设备的次数，则
Y~B(n,p)，其中n=4,p=0.2639。所求期望3.泊松分布:X∼P()，其中>0，则E(X)=.4.1.2连续型随机变量的数学期望小区间[Xi,Xi+1)从该启示出发，我们给出如下定义。例3：设随机变量X的概率密度为这意味着：若从该地区抽查很多成年男子，分别测量他们的身高。则这些身高的平均值近似地为1.68。例4：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时,计算P{1000<X≤1200}。4.1.3随机变量函数的数学期望一种方法是：由于g(X)也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来。设X是一个随机变量，Y=g(X)，则例5：设X∼N(0,1)，求E(X2)。例6：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位:吨)。X服从区间[2000,4000]上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大?由已知条件,知X的概率密度函为可算得当t=3500时，
E(Y)=-2t2+14000t-8000000
达到最大值1.55×106。
因此，应组织3500吨货源。设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布为
pij,i=1,2,，j=1,2,.则：例7：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y的期望.例8：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为所以，3.1.4期望的性质期望性质的应用
例10：将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,
所以，对第i个盒子，一个球不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)。小结