线性方程组的消元法.ppt

和矩阵的初等变换引例（物资调运问题）Cij
A13个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以：2.对用户来讲，调配的产品刚好为其所需，因而有：（1）－（5）每个方程都是线性方程，几个线性方程联立在一起，称之为线性方程组.形式如下：它是第个方程中第个未知量的系数；所谓方程组（7）的一个解
就是指个数定义1当时，称为阶矩阵或阶方阵行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作：系数矩阵：线性方程组（7）的未知量的系数所确定的矩阵增广矩阵：而（7）所对应的矩阵例1解线性方程组（消元法）将上面的第二个方程与第三个方程互换，即得将第三个方程两边乘，得将第一个方程加上第二个方程,得上面解方程的过程，从（8）到（9）叫消元过程，从（9）到（10）叫回代过程．（对调第两行，记作）；把定义中的“行”变成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“”换成“”）.就称矩阵与矩阵等价，记作～.线性方程组的同解变换，也就是方程组增广矩阵的初等行变换.对于例１,其一一对照过程如下由所对应的标准形Cramer法则1.二阶行列式用消元法求解线性方程组（1），得矩阵的行列式还记作或，即方阵与矩阵的区别：二阶方阵是个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵）按一定的运算法则所确定的一个数．例1求解二元线性方程组定义对于一个给定的3阶方阵记作例2计算三阶行列式利用消元法求解，则可得方程组的解为为书写方便，将之记成例3解三元线性方程组3.阶行列式（3）对于三阶矩阵所确 定的三阶行列式即（4）假设由阶方阵所确定的阶
行列式已有定义，那么，阶方阵所确定
的阶行列式用归纳法定义为那么，上述行列式的定义可记为数也称为行列式的第行第列处的元
素，而元素，，，
所在的对角线称为行列式的主对角线；
另一条对角线称为行列式的次对角线．行列式的性质推论方阵的某一行（列）的元素与另一
行（列）的对应的代数余子式乘积之和等
于零，即性质4行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘此行列式．性质5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第行的元素都是两数之和：则等于下面两个行列式之和：5.行列式的计算解例2现假设式对阶范德蒙行列式成立，提出，就有，故例3计算阶行列式在上述诸例将行列式化为上三角行列式的过程例4设证对作运算，把化为下三角行列式，设为于是，对的前行作运算，再对的后列作运算，把化成下三角行列式6.克拉默（Cramer）法则定理1（克拉默法则）注意：将行列式按第列展开，显然对于齐次线性方程组定理2如果齐次线性方程组（5）的系数矩阵例1:求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c,使得
f(1)=0,f(2)=3,f(–3)=28.由克拉默法则,得解：由定理2，如果方程组有非零解，那么它的系数矩阵的行列式由此得定理任意一个矩阵，总可以经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形