线性方程组1矩阵消元法.ppt

第一节：矩阵消元法

本节主要介绍以下两点
一：矩阵消元法——解线性方程组的一种最古老但
仍然被广泛使用的方法之一。
(引入矩阵及矩阵的初等行，列变换)
二：线性方程组解的情况——初探。符号(-1/5)表示第3的方程乘(-1/5)。这种形式的线
性方程组一般
称为阶梯形方
程组,
特点是：
自上而下的各
个方程所含未
知量的个数
依次减少。由原方程组化为阶梯形方程组的过程
称为消元过程，而由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程称为回代过程。
在求解过程中，对方程组反复施行了以下三种变换——称为方程组的初等变换。在例1的求解过程中，
我们只对未知量的系数与常数项进行运算，
因此求解过程可以写的更简单。对方程组⑴施以方程组的初等变换，就相当于对矩阵⑵的各行施以相应的变换，它们都称为矩阵的初等行变换。②－①×3
③－①×2(②,③)最后一个矩阵称为阶梯形矩阵，其特点是
⑴自上而下的各行中，每行第一个非零元素
左边零的个数随行数的增加而严格增加。
⑵元素全为零的行(如果有的话)位于矩阵的下边。由最后一个矩阵可得原方程组的解：
x1=2,x2=0,x3=-1.解：对方程组的增广矩阵(是一个3×5的矩阵)施以
矩阵的初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，过程
如下：所以原方程组也无解。解：对方程组的增广矩阵(是一个4×6的矩阵)施以
矩阵的初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，
(下面我们给出简化过程)17阶梯形矩阵，
它对应的阶梯
形方程组为所以原方程组有无穷多解。②+③×9
①–③×3(这种阶梯形矩阵
称为简化阶梯
形矩阵，特点
是？)我们称⑶为原方程组的一般解：即用自由未知量表示其余未知量的表达式。由上面的例1—例3，可以看出线性方程组可能
无解，也可能有解，在有解的情况下，可能有唯一解，也可能有无穷多解。二：线性方程组解的情况有时为了说明矩阵的行数与列数也可以用Am×n
或A=(aij)m×n来表示一个m×n矩阵。这三种变换中的每一种都称为矩阵的初等行(列)
变换，矩阵的初等行变换，初等列变换统称为
矩阵的初等变换。(具有可逆性)方程组中未知量的系数可以组成数域F上的一
个m×n矩阵矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵，而称
m×(n+1)矩阵29由后m–1行，右边的n列可以组成一个
(m–1)×n矩阵，对此矩阵继续施以上述变换，
必要时可以重新排列未知量的顺序，直到将其化为
如下形式的阶梯形矩阵为止：阶梯形矩阵32因为消元过程只是对线性方程组的系数（含常数项）进行运算而与方程中未知量的取值无关，1)如果r=n则线性方程组⑵相当于写出⑶式对应的阶梯形矩阵，自下而上逐次施以矩阵的初等行变换，进一步化为简化阶梯形矩阵，可得线性方程组⑴的唯一解。简化阶梯形矩阵记为⑷因此原来的线性方程组有无穷多组解。此时，对阶梯形方程组⑷对应的阶梯形矩阵可以经过矩阵的初等行变换进一步化为简化阶梯形矩阵：由此可得原线性方程组的一般解：且有：自由未知量的个数=线性方程组中未知量
的个数n-(简化)阶梯形矩阵中非零行的
行数r，非零行是指--不全为零的行。注意⑸恒有解,则有下述结论：
r=n时，齐次线性方程组⑸有唯一零解。
r<n时，齐次线性方程组⑸有无穷多解，
即有非零解。这个齐次线性方程组
方程个数等于未知量个数=n。证明：(必要性)若D≠0，则由克莱姆法则
齐次线性方程组⑸有唯一零解，
矛盾，所以D=0。它的行列式⑺的方程个数必小于未知量个数，根据定理1
齐次线性方程组⑺必有非零解，从而齐次线性方程组⑹也有非零解。解：对线性方程组的増广矩阵施以初等行变换，
将其化成阶梯形矩阵。③－②×3
④－①×1显然当a≠-4时，原方程组无解，
当a＝-4时，原方程组有解。未知量
个数
n=4,
阶梯形
矩阵中
非零行
数r=3.例2：试确定的值，使齐次线性方程组解：对方程组的增广矩阵施以矩阵的初等行
变换，将其化为阶梯形矩阵，将=-2代入阶梯形矩阵⑴进一步化成简
化阶梯形矩阵得：类似的有，当时，有另解*：方程组的系数行列式---见第一章。小结：
1.熟练应用矩阵消元法求解线性方程组。

2.用阶梯形矩阵判断线性方程组是否有解，
在线性方程组有无穷解时，给出其一般解。