南京航空航天大学《高等数学》121微分方程的定义及有.pdf

回顾：在学导数时，曾做过题目：
d2x
验证:x=ccoskt+csinkt,满足方程+k2x=0
12dt2
dx
解:=−kcsinkt+kccoskt
dt12
d2x
=−k2(ccoskt+csinkt)
dt212
d2x
将及x代入满足方程,得证!
dt2
1
d2x
该方程+k2x=0与代数方程不同。
dt2
它是一个含有函数(未知函数)及函数导数
的方程,这种方程就是一个微分方程.
在不少力学、物理、几何等问题中,
往往直接寻求变量之间的函数关系不容
易，但容易建立含有未知函数及其导数
或微分的关系式。再通过微分方程的求
解，得到变量之间的函数关系。
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和
几种常用微分方程的解法.
2
问题的提出

微分方程的定义及有关概念

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一、问题的提出

在说明基本概念前,先看几个简单的例子.

例1一条曲线C过点(1,2),且在曲线C
上点M(x,y)处的切线斜率k=2x,
求这曲线C的方程.
解设曲线C:y=y(x),
dy
由导数的几何意义：=2x(1)
dx

此外yx=1=2(2)
4
2
对(1)两边积分y=x+c
Y
y=∫2xdx=x2+c(3)

由(3)说明:满足方程(1)(1,2)
的函数有无穷多个。

∵曲线过点(1,2)，将x=1,
OX
y=2代入(3)得,c=1

∴所求曲线为y(x)=x2+1(4)
5
例2设列车以v=20m沿平直线路行驶,刹车获得
s
a=−0.4m，问列车刹车后行驶多少路程才
s2
能停下,且花了多少时间。
解设刹车后的运动规律函数：s=s(t)，则
d2s
=−0.4(5)
dt2
ds
此外s=0v==20(6)
t=0t=0
dtt=0
ds
由(5)有,=v=−0.4t+c(7)
dt1
2
s=−0.2t+c1t+c2(8)c1,c2为任意常数6
将v=20代入(7)得c=20
t=01
将s=0代入(8)得c=0
t=02
ds
v==−0.4t+20(9)
dt
s=−0.2t2+20t(10)
20
v=0代入(9)⇒t==50(s)
0.4
t=50s代入(10)⇒s=500(m)

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二、微分方程的定义及有关概念

定义凡表示未知函数,未知函数的导数与
自变量之间的关系的方程称之常微
分方程.
注未知函数的导数必须出现

如，例1中的方程(1),例2中方程(5)
定义微分方程中出现的未知函数的最高阶
导数的阶数称之微分方程的阶。
例中微分方程为一阶；例中微分方程为二阶。
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又如x3y'''+x2y''−4xy'=3x2—三阶
y(4)−4y'''+10y''−12y'+5y=sin2x—四阶
一般地，n阶微分方程的形式是
F(x,y,y',,y(n))=0(y(n)≠0)(11)
定义代入∂微分方程成为恒等式的函数称为
微分方程的解。
即，设y=ϕ(x)在区间I上有n阶连续导数，
如果在I上
F[x,ϕ(x),ϕ'(x),,ϕ(n)(x)]≡0则
称ϕ(x)为微分方程（11）在区间I上的解。
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例1中函数(3)、(4)是方程(1)的解；
例2中函数(8)、(10)是方程(5)的解
解有两种不同形式:
i)解中含有任意常数且常数的个数与阶数相同.
这样的解称为通解或一般解。
例1中的函数(3);例2中的函数(8)

通解含有任意常数,故还不能完全反映客观
事物的规律性,对实际问题往往还有一些特
定的条件用来确定通解中的常数

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ii)按问题所给的特定条件，从通解中确定
任意常数而得到的解称之特解。
这些特定条件称为初始条件。
通常用来确定任意常数的条件为：

一阶：y=y0
x=x0
二阶：y=y,y'=y'
x=x0x=x00

例1中的条件(2);例2中的条件(6)

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通解在几何上表示一族平面曲线,其中每
一条曲线称为微分方程的积分曲线。
若能从n阶微分方程
F(x,y,y',,y(n))=0（y(n)≠0）(11)
中解出y(n),得微分方程：
y(n)=f(x,y,y',,y(n))(12)
约定：在本章中所讨论的微分方程都是已解
出最高阶导数的方程(12),或能解出最
高阶导数的方程（11）。且式（12）
右边在所讨论的范围内连续。
12
一阶:一般式F(x,y,y')=0(1)

解出最高阶导数为：
y'=f(x,y)(2)

M(x,y)
将f(x,y)写成
N(x,y)

方程(2)可写成微分形式：
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(2')

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求微分方程y'=f(x,y)满足初始条件的特解
这一问题，叫做一阶微分方程的初值问题，
⎪⎧y'=f(x,y)
记作:(13)
⎨y=y
⎩⎪x=x00
二阶微分方程的初值问题：
⎪⎧