南京航空航天大学《高等数学》125全微分方程.pdf

齐次方程

※可化为齐次方程
一、齐次方程
1.概念
dyy
定义y若'(,)=fx能写成y=(F)−(−1形式)
dxx
称原方程为齐次方程

x+y1+yx
如:'y=⇒y'=
x−y1−yx
2xy2y(x)
y'=⇒y'=
x2+y21+y2x2

dy
x−y−y2−2x0=
dx

2
y+y2−2xy⎛y⎞
y'==±⎜⎟−1
xx⎝x⎠
其实方程右端函数f(,)xy是零次齐次函数
f即(,)(,)xy=ftxty
2.解法分离变量后,
ydudx
令u=,即y=xu(2)=,
xF()u−ux
u(是的函数x,求出u就得!)y两边积分:
dydududx
=u+x(−3−)∫=∫
dxdxF()u−ux
求出积分后
将代入得
(3)(1)y
再用代
duu,
u+xF=()ux
dx便得齐次方程
−−可分离变量方程.(1的通解).
yyπ
例1求方程:'y=+tan满足y=的解
xxx=16
ydydu
解令=u，=u+x,代入原方程得
xdxdx
dudu
u+xu=tan+u即,x=tanu
dxdx

当u≠0,即y≠0时.
du
分离变量得，cotudu=，
dx
两边积分
lnsinu=xln+cln⇒u=sinxc,

y
回代，sin=xc
x

π1
将y=代入通解得,c=
x=162
yx
故特解为sin=.
x2
dydy
例2解方程y2+x2=xy
dxdx
dyy2()yx2
解==−齐次方程
dxxy−2xyx−1
ydydu
令=u,=u+x,代入原方程得
xdxdx
duu2duu2−u2+uu
u+x=x==
dxu−1dxu−1u−1
udx
分离变量得du=
u−1x

两边积分得u−lnu=lnx+1c
y
ux=ceu故=yxce
例3有一旋转曲面
yT
形状的凹镜，假设M(,)xyα
由旋转轴上一点发s
出的一切光线经凹α
α
镜反射后都与旋转
Aox
轴平行，求这旋转
曲面的方程。

解取旋转轴为x轴，光源为坐标原点，过轴
的任一平面为坐标面，平面与旋转面截得的
曲线为C（见图）,C设:y=(y)(x≥0)
由光学中的反射定律，有∠oMA=∠SMT
Ao∴oM=,=oM2+2xy

过M点的切线为：Yy−='()y−Xx
yy
=令YX=0−,+x⇒Ao=X−x=−
y'y'
y
故，−x=x2+()2y∗⇒
y'
yyx
y'==
x+x2+2y1+1+y(x2)
du
y令x=u',y=u+代入以上方程得x
dx
duudu−u1+u2
u+x=⇒x=
dx1+1+u2dx1+1+u2
1+1+u2dx
分离变量后，du=
−u1+u2x
11
ln(++1)ln−u=lnx+lnc
uu21
1111
=xuc++1⇒yc=1++
1uu21uu2
1111
⇒−yc=1+⇒(yc)2−1=+
1uu21uu2
111
⇒(yc)2−2yc+=1+
1u1u22u
1
⇒(yc)2−2yc=1
11u
2c
⇒y2=c(21+x)2=c(x)—+抛物线
c2
c
旋转面方程为：y+2z2=2c(x+)
2
x
令v=,同样可解方程(),∗见.P336例,3
y
二、※可化为齐次方程

1.定义

dyax+by+c
形如=—（）4(c1,c不全为0)
dxa1x+b1y+1c
的方程称为可化为齐次的微分方程
dyax+by+c
=(c,1c不全为0)
dxa1x+b1y+1c
2.解法进行变换,去掉分子、分母的常数项.
x⎧=X+h
令⎨
y⎩=Y+k
dYdy
dx=dXdy=dY=,
dXdx

aXdY+bY+ah+bk+c
=
adXX+1b1Y+1a+h1b+1kc
abah⎧+bk+0=c
(1)≠0从⎨解出h与k
a1b1a⎩h1+b1+k10c=

dYaX+bY
此时=−−齐次方程
dXaX1+1bY
求出解后，再回代。
abab
(2)=0令,1=1=λ
a1b1ab

dyax+by+c
∴=ax令+by=即得v
dxaxλ()+by+1c

dv1dva
a+by'=y='−
dxbdxb
1dvav+c
此时,−=(≠b0−)可分离变量−
bdxbλv+c1
例4:解方程x(y−1−)dx+(4y+−x1=)dy0

dyx−y−1⎧−xy−1=0
解=−,令⎨⇒y0=,x1=
dx4y+x−14⎩+yx−1=0
x令=X1+,y=+Y0
dYXY−YX−1
=−=—齐次方程
dXYX4+4YX()+1
Yduu−1
令=u⇒u+X=
XdX4u+1
du4u2+1
X=−—可分离变量方程
dX4u+1
4u+11
分离变量得，du=−dX
4u2+1X
11
ln(4u2+1+arctan)u=2−Xl