南京航空航天大学《高等数学》124一阶线性微分方程.pdf

可分离变量的微分方程

举例
一、可分离变量的微分方程
回顾?例1
dy
解：x=2即，dy=2xdx两端对x积分
dx
y=∫2xdx=2x+c
dy
问题:求解=2xy2若两端积分：
dx
y=∫2xy2−dx含有未知函数，不好求积分
1
解决:使方程变形为：dy2=xdx(≠0，y)
y2
11
两端积分−=x2+cy=−
yx2+c
验证的确是原方程的通解。
定义若'y=(f,x)y(1)
M(,)或xydx+(,)Nx=y0(1')dy
能化成gy()dy=(f)x（）dx2
则原方程称为可分离变量的微分方程。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Mx()()()()M1y2dy=1N2xN是不是可ydx
分变量方程?'()()?y=fxgy
思考：
Mx()()()()M1y2dy=1N2xNydx
y'()()=fxgy
是不是可分变量方程?

'xy−ylny=0
secx2tanydxsec+y2tanxdy=0
dy
=10x+y
dx
dydy
xy=y2+x2
dxdx
若y(=y)x是(2的解，代入)(2得恒等式：)
gy(x(y))x'(dx)=f(x)dx

两端对x积分
g()y∫∫dy()=fx+dx(()0)(3)c≠gy
这说明方程（2）的解满足（3）

反之，可验证由(3确定的隐函数就是)(1的解)
Fx令(,)()()yg=∫∫ydy−f−xdxc
:验证(3)是(的通解。1)
设F(,x)=y0确定的隐函数y=y()x
dyFf()x
又∵=−x=(g()y≠0)
dxFyg()y
g即y()()dy=fxdx
由于F(,x)=y0含有任意常数,c，故为(1的通解)

解法:将(3两边求积分)
gy∫∫()()dy=fx+dxC
−−确定的函数就是(1的通解)
二、举例
dy
例1求微分方程=2xy满足y=1的特解
dxx=0
dy
解方程分离变量后:2=xdx(≠y0)
y

22
2x+c11cx
yln=x+c1y=e=ee

2Δ2
y=e±ce1x=cex(可正可负c)
y=0显然满足方程,是它的解−漏解

2
y∴=cex(取任意常数c)
注以后积分中,lny就写成lny只要记住最后,
的常数可正可负即可

例2解微分方程x(xy+)dx2+(y−2x)y=0dy
例2解微分方程x(xy+)dx2+(y−2x)y=0dy

解原微分方程为：
x(1+y)dx2+(y1−2x)=dy0

yx
分离变量后:dy=dx
1+y2x2−1
ln(1+y)2=ln(x2−1+)cln

1+y2=(cx21−)(c≠0)
例3放射性元素铀的衰变速度与未衰变的原子
的含量M成正比,已知MM=,求铀含量
t=00
M随的变化规律tM=(M).t
(:衰变放射性元素由于不断地有原子放射出微
粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少,
这种现象称之)
dMdM
解∵v=由题意=−kM(1)
dtdt
dM
（k>0−称衰变常数;负号是由于<0）
dt
MM=(2−)初始条件
t=00
方程(1分离变量后)积分得

dM
=k−dt
∫∫M

−kt
即M=ln−k+c1⇒M=(ce3)

初始条件(2)中代入(得，3c)=M0

−kt
故M=M0e
例4设降落伞从跳伞塔下落,所受空气阻
力R与速度v成正比，离塔时速度为0,
求降落伞下落速度与时间的函数关系。

解设下落速度为v=(v),t降落伞受重力
P=mg
阻力kv(比例系数k)
由牛顿第二定律
dv
m=mg−kv可分离变量−
dt
v=0
t=0
dv1
分离变量=dt，两端积分
mg−kvm
k
1t−t−kc1
−lnmg−(=kvc)+mg−kvM=e
km1
kkc
mg−te1
v=ce+m=()c−−通解−
kk
mg
将初始条件v=0⇒c=−
t=0
kk
mg−t
∴v=(1−em)
k
mgmg先加速,以后逐渐
t↑v→()v<
kk近似于匀速运动.
例5现有一盛满水而高为1m的半球形容器,水从
它底端的一个面积为1cm2的小孔流出,试求
流尽所需要的时间。
解先求液面离孔中心的距离h随的变化规律t
h=()h。t
根据水力学定律,水从距自由面深度
h为()cm的孔流出的流量Q为：
dV
Q=0.=62Sgh2,
dt
流量系数孔口截面面积重力加速度
(这里没有现成的物理规律可遵循,介绍一种从
分析增量确定h与之间的微分关系的方法t
−−微小增量分析法)h
∵S=1cm2,
h
∴0dV.=62gh2dt,(1)100cm
h+dhr
设在微小的时间间隔[t,t+Δt],o
水面的高度由h降至h+Δ,hdV则=−πr2,dh
100=∵r(−2100−h2)=h200h2−,
∴