南京航空航天大学《高等数学》122可分离变量的微分方程.pdf

问题的提出

λx
f()()x=emP型x

αx
(f)xe[=(P)lxcosβ+xnP()βx型sinx]
二阶线性微分方程应用举例
一、问题的提出

一般形式:y"py'++qy=(f)−x−(1)(为常数p,q)

对应的齐次方程：y"+py'+=qy0−−(2)

由§我们已会求9(2的通解)可设Y:=c11y+2c2y
由§通解的结构定理，方程8(1的通解):

*
y=Y+yy*是(1的任一特解。)

问题：求方程(1的一个特解)y∗
说明：只就自由项f()x的两种形式讨论
λx
(1)fx()=Pm(x)λe是常数()
mm−1
Px=m()a0+x1a+xa+m−1xma+
−−m次多项式
αx
(2f)x(e)=P[lx()β(+cosxn)Psinβx]x
α(,为实常数β)

Px(l),P是n(x的)xl次与次多项式n
(其中有一个可为0)
方法:待定系数法来求y*
(不用积分而用代数的方法)
形式(1的特形):

)iλ=0f⇒x()=Pm(x)
λx
ii)P(m=x)1⇒f(x)=e

ax
iii)λ−a实数f()()x=Pmxe

α+iβ
ivλ)=αi+fβ()()x=mPxe
形式(2的特形)α=0⇒

iP)l=P1n=，(f)x=cosβ+sinxβx

ii)P0l=f(x)=n(P)xβsinx

iii)P0n,=f()x=l(P)xβcosx
λx
f二、()()x=emP型x

λx*
y求py+"'+qy=em()P的一个特解xy

设y*Q=()()xλex−A

其中：Q()x是的多项式x.

那么Q()x次数应是几呢?系数应怎样确定。
y∵*Q=()()xλex−A
(y)'e*=[λQxλ(x+)Q'(−x)]−(B)
(y)"e*[=Qλx(λ2x)2+λQ'(x+)Q"—(x)](C)
(将AC)~(代入方程)(1约去)e得:
λx

2
"(Q+)px(+Q2λx)+'(λ)p+()λq+(Q)xm=(（）)P3−x
1)若λ不是(2的特征根)λ+2:pλ+q0≠

*λx
令Q()()x=Qmyx=Qm()xe

m
Q其中:()xm=b0+b1x+2b+xm+,bx

(,,)b0b1mb待定
2若)λ是方程(2的特征单根),即λ+2pλ+q0=

2而λ+p0≠,方程(⇒3)

Q"()(2x+λp+Q)'()x=mP()x

∗λx
Q令()()x=xQmyx=xQm()xe
3若)λ是方程(2的重根)必有,
+λ2p+λ0q=,2λp+0=

(方程3)Q⇒"x(=)mP(x)

2∗2λx
Q令()()x=xmQyxx=Qm()xe
λx
综上所述,"'()y方程+py+q=mPxe
具有如下形式的解：

*kλx
yx=Qm()xe

⎧0λ不是特征根
⎪
其中k=⎨1λ是特征单根
⎪
⎩2λ是特征重根

Q(mx)(系数待定)()与Pmx同次的多项式
λx
求解y"'()+py+q=mPx的步骤e:

1.求与(1相对应的齐次方程的特)征根

k
2.Q设x()=xmQ()x
2
Qx"代入(+)(pQx+2λ)+'(λ)+pqQxPx(λ)()()+m=

比较同次幂的系数,b求出(ii0=,1,m得)mQ,(x)

*kλx
y3.x=Qm()xe
例1求y+"y=2x1+的一个特解y*
解λx2
(f)x是(Pm)x型,eλ=P0,mx=()x+1
特征方程r2+1=0
特征根=r±i0≠，
而λ=0∴λ不是特征根
∗2
y令=b(0+b1x+2b)x
∗
y'=b1+2b2x
∗
y"=2b2代入所给方程得，,
22
b+22b+0b1x+b2x=1x+
∗2
b10=b2=10b=−1∴y=x−1
例2y求"−y3+'y2=2xex的通解
λx
f解x()()()P是mxemP=xλ=2x
特征方程r−23r+2=0

特征根r=11,2r=2λ=单根()

∗2x2x
y∴设x=b()()0b+1xe=Qxe
2x
Q'(b=02b+1x)e="Q12代入b(3)
2(2b+2⋅+(−b3))(+bx=2x)
1011
化简得，b2+b(+2bx)=∴Qx=x(1x−)
1012
⎧1
⎧2b1+b0=0⎪b=*x2x
比较系数:⎨⇒⎨12∴y=x(1−e)
⎩2b1=1⎪2
⎩b0=1−
x
∴特解为y*=x(1−e)2x
2

x2x
∵齐次方程的通解为Y:=c1e+2ce

x
∴原方程通解为y=:cex+c2xe+(x1e−)2x
122
例3y求"−2y+'y=4xxe

λx
f解x()()P是mxe型(mP)=4xλ=x1
特征方程r−22r+1=0
特征根r=1(二重)=λ