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高考数列压轴题

一．解答题共50小题
1．数列{}满足=+=++…+∈
ana1=1,a2,…,annN

1求a2,a3,a4,a5的值；

2求a与a之间的关系式n∈N,n≥2；
nn﹣1
3求证：1+1+…1+＜3n∈N

2．已知数列{x}满足：x=1,x=x+ln1+xn∈N,证明：当n∈N时,
n1nn+1n+1
Ⅰ0＜
x＜x；
n+1n
Ⅱ
2x﹣x≤；
n+1n
Ⅲ≤x≤．
n

3．数列{a}中,a=,a=n∈N
n1n+1

Ⅰ求证：a＜a；
n+1n
Ⅱ记数列{a}的前项和为,求证：＜1．
nnSnSn

4．已知正项数列{a}满足a2+a=3a2+2a,a=1．
nnnn+1n+11

1求a2的值；

2证明：对任意实数n∈N,a≤2a；
nn+1
3记数列{}的前项和为,证明：对任意∈﹣≤＜3．
annSnnN,2Sn

5．已知在数列{}中,．∈
an,nN

1求证：1＜a＜a＜2；
n+1n

2求证：；

3求证：＜＜+2．
nsnn

6．设数列{a}满足a=a2﹣a+1n∈N,S为{a}的前n项和．证明：对任意n∈N,
nn+1nnnn
当0≤≤1时,0≤≤1；
Ia1an

当＞1时＞﹣n﹣1；
IIa1,ana11a1
当=时﹣＜＜．
IIIa1,nSnn

7．已知数列{a}满足a=1,S=2a,其中S为{a}的前n项和n∈N．
n1nn+1nn
Ⅰ求S及数列{}的通项公式；
1,S2Sn
Ⅱ若数列{b}满足,且{}的前项和为,求证：当≥2时,．
nbnnTnn

8．已知数列{}满足=1,∈
ana1nN,

Ⅰ证明：；

Ⅱ证明：．

9．设数列{a}的前n项的和为S,已知a=,a=,其中n∈N．
nn1n+1

1证明：＜2；
an

2证明：a＜a；
nn+1

3证明：﹣≤≤﹣1+n．
2nSn2n

10．数列{a}的各项均为正数,且a=a+﹣1n∈N,{a}的前n项和是S．
nn+1nnn

Ⅰ若{a}是递增数列,求的取值范围；
na1
Ⅱ若a＞2,且对任意∈都有≥﹣﹣1,证明：＜+1．
1nN,Snna1nSn2n

11．设n=2为数列{}的前项和,令﹣∈∈．
an=x,bn,Snanbnnfnx=Sn1,xR,aN

Ⅰ若x=2,求数列{}的前n项和T；
n

Ⅱ求证：对n∈N,方程f在∈,1上有且仅有一个根；
nx=0xn

Ⅲ求证：对p∈N,由Ⅱ中x构成的数列{x}满足0＜x﹣x＜．
nnnn+p

12．已知数列{},{}=1,为数列{}的前项
anbn,a0,n=0,1,2,…,,Tnbnn

和．

求证：Ⅰa＜a；
n+1n
Ⅱ；

Ⅲ．

13．已知数列{a}满足：a=,a=a2+an≥2且n∈N．
n1nn﹣1n﹣1

Ⅰ求a；并证明：2﹣≤≤3；
2,a3an

Ⅱ设数列{a2}的前n项和为A,数列{}的前n项和为B,证明：=a．
nnnn+1
14．已知数列{}的各项均为非负数,其前项和为,且对任意的∈都有．
annSnnN,

1若a1=1,a505=2017,求a6的最大值；
2若对任意∈都有≤1,求证：．
nN,Sn

15．已知数列{a}中,a=4,a=,n∈N,S为{a}的前n项和．
n1n+1nn

Ⅰ求证：∈时
nN,a＞a；
nn+1
Ⅱ求证：n∈N时,2≤S﹣＜．
n2n

16．已知数列{}满足=﹣．
an,a1=1,an

1求证：≥；
an

2求证：|a﹣a|≤；
n+1n

3求证：|﹣|≤．
a2nan

17．设数列{a}满足：a=a,a=a＞0且a≠1,n∈N．
n1n+1

1证明：当n≥2时,a＜a＜1；
nn+1

2若b∈a,1,求证：当整数k≥+1时,a＞b．
2k+1

18．设a＞3,数列{a}中,a=a,a=,n∈N．
n1n+1

Ⅰ求证：a＞3,且＜1；Ⅱ当≤4时,证明：≤3+．
naan

19．已知数列{a}满足a＞0,a=2,且n+1a2=na2+an∈N．
nn1n+1nn
Ⅰ证明：a＞1；
n

Ⅱ证明：++…+＜n≥2．

20．已知数列{}满足：．
an

1求证：；

2求证：．

21．已知数列{a}满足a=1,且a2+a2=2aa+a﹣a﹣．
n1n+1nn+1nn+1n

1求数列{}的通项公式；
an
2求证：++…+＜；

3记=++…+,证明：对于一切≥2,都有2＞2++…+．
SnnSn

22．已知数列{a}满足a=1,a=,n∈N．
n1n+1

1求证：≤≤1；
an

2求证：|﹣|≤．
a2nan

23．已知数列{的前项和记为,且满足﹣∈
annSnSn=2ann,nN
Ⅰ求数列{a}的通项公式；
n