高考压轴题之数列.docx

数列及其通项
例1设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=．
分析本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到一般).也可化简递推式,从而求得通项公式.
解法一：由条件,可得,,,(负值舍去)
由此可猜想.
解法二：由,可得
因为,所以故只有,即
所以…=
链接①形如的递归式,其通项公式求法为：
②形如的递归式,其通项公式求法为：例2.已知an=eq\f(n－eq\r(98),n－eq\r(99))(n∈N*)，则在数列{an}的前20项中，最大项和最小项分别是()
,a8.,a9.,a9.,a10.
分析因为an=1+eq\f(eq\r(99)－eq\r(98),n－eq\r(99))所以a1,a2,…,a9组成递减数列，a1最大，a10最小;
a10,a11,…,a20组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算a1＜a10,a9＜a20.
所以在数列{an}前20项中，最大项为a10，最小项为a9，故选B.
说明要确定数列{an}的最大项和最小项，一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察.
等差数列与等比数列
例1.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若首项EQ\F(3,2)，公差，求满足的正整数k；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数都有成立.
【答案】解：（I）当时，
由，即。
又。
（II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取=1，2,得
。
解得。
若成立；
若
故所得数列不符合题意。
若；
若。
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an}:an=0，即0，0，0，…；
②{an}:an=1，即1，1，1，…；
③{an}:an=2n－1，即1，3，5，…。
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。
【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到求得。
（Ⅱ）设数列{an}的公差为d，在Sn2=(Sn)2中分别取=1，2求得，代入到前n项的和中分别求得d，进而对和d进行验证，最后综合求得答案。
例2ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、
（0,2）,设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线
段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的
坐标为(xn,yn),
（Ⅰ）求及;
（Ⅱ）证明
(Ⅲ)若记证明是等比数列．
分析本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力．利用图形及递推关系即可解决此类问题．
解(Ⅰ)因为，
所以，又由题意可知
∴==
∴为常数列．∴
(Ⅱ)将等式两边除以2，
得
又∵,∴
（Ⅲ）∵==
又∵∴是公比为的等比数列．
说明本题符号较多，有点列{Pn}，同时还有三个数列{an}，{yn}，{bn}，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．
例3．设数列的前项和为，已知，且
，其中为常数
⑴求A与B的值；（2分）
⑵证明：数列为等差数列；（6分）
⑶证明：不等式对任何正整数都成立（6分）
【答案】解：（1）由已知，得，，，
由，知
，即，解得。
（2）由（1）得①
∴②
②－①得，③
∴④
④－③得。
∵，∴。
∵，∴。∴，。
又∵，∴数列为等差数列。
（3）由（2）可知，，
要证，只要证。
因为，，
故只要证，
即只要证。
因为，
由于以上过程是可逆的，所以命题得证。
【考点】数列的应用。
【分析】（1）由题意知，从而解得A=－20，B=－8。
（2）由（Ⅰ）得，所以在式中令，可得
．
由此入手能够推出数列{an}为等差数列。
（3）由（2）可知，，然后用分析法可以使命题得证。
例4.已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，
（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）
（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
【答案】解：设的公差为，由，知，（）
（1）证：∵，
∴，。
∴。
（2）证：∵，且，
∴
解得，或，但，∴。
∵是正整数，∴是整数，即是整数。
设数列中任意一项为，
设数列中的某一项=，
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可。
∵，
∴。
若，则，那么。
当时，∵，只要考虑的情况，
∵，∴，∴是正整数。∴是正整