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运用逆向思维培养解题能力
吴县市湘城中学冯振暖

人们在研究事物或理论时，通常按照一定的顺序进行，或按其发生时间的先后，或按其在空间位置关系的由远及近，或按某一特性人为地编成一个顺序，我们把这种按顺序思考问题的思维叫作正向思维，正向思维是基本的、常见的、大量的，但是当正向思维面临困境甚至是绝境的时候，“反过来想一想”这种思维方向，即逆向思维往往会出奇制胜、别开生面，在人类几千年的文明史上记载有很多运用逆向思维引人入胜的故事。例如司马光“击缸救人”的故事中小友们采取了习惯思维方法：“人离缸水存”，而司马光采取了逆向思维方法“缸破水流人存”。
数学知识有其特点，很多数学知识都具有可逆结构，因此在数学教学过程中加强逆向思维的训练，不仅可以加强对原有知识的理解，而且还可对知识从不同的角度，不同的层次和不同的侧面去探索，从而使问题解决，既而提高学生分析问题和解决问题的能力。
本文将就中学数学教学中如何运用逆向思维培养学生的解题能力，介绍一些体会与做法。
一、定义教学中的逆向思维训练
数学的定义至关重要，作为定义的数学命题其逆命题总是正确的，所以我们在运用定义时不仅可应用原命题，还可以应用其逆命题。
如在立体几何中异面直线的定义：“不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线”，它的反面是若两条直线不是异面直线则这两条直线一定在同一平面内，也可以说在空间两条直线若不相交也不平行一定是异面直线。
由于在高中立几的教材中，判定是否是异面直线，除定义外无其它知识可用。因此在判定是否是异面直线的有关题中，最好的方法是反证法。即用了逆向思维的方法来解决问题。
又如椭圆定义的运用，可较迅速地解答一九九三年的高考题。
y
N
M
P

例1：在面积为1的PMN中，tgM=eq\f(1,2)，tgN=–2，试建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。
分析：问题的关键是求出椭圆的长轴2a，由椭圆定义：2a=|PM|+|NP|，故可先求|PM|、|PN|。
略解：建立直角坐标系如图，以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴。
设所求椭圆方程为：eq\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1,分别记M、N、P点坐标为(–c,0)、(c,0)、(x0,y0)。
∵tg=tg(–N)=2，由题设得：y0=eq\f(1,2)(x0+c)及y0=2(x0–c)
∴x0=eq\f(5,3)c，y0=eq\f(4,3)c，即P（eq\f(5,3)c，eq\f(4,3)c）
MNP中，MN＝2c，MN上的高eq\f(4,3)c，∴SMNP＝eq\f(1,2)·2c·eq\f(4,3)c=1
∴c=eq\f(3,2)，即eqP(\f(5,6)\r(3)，\f(2,3)\r(3))。
∴|PM|＝eq\r((x0+c)2+y02)=\f(2\r(15),3),|PN|=eq\r((x0–c)2+y02)=\f(\r(15),3)
由椭圆定义得a=eq\f(1,2)(|PM)+|PN|)=eq\f(1,2)eq\r(15)，从而b2=a2–c2=3
故所求的椭圆方程为：eq\f(4,15)x2+\f(y2,3)=1。
二、运算中的逆向思维训练
运算能力的提高，直接关系学生的解题速度和正确率，在运算过程中加强逆向思维的训练，能极大地调动学生学习数学的积极性和提高思维能力。
例2．试比较eq\f(10,17)，\f(12,19)，\f(15,23)，\f(20,33)的大小。
分析：常规方法是先通分，再比较新的分子，显然，最小公分母是原来的四个分母的积，因此通分之后各个分式的新分子运算起来较为繁琐，现在如果不统分而采用用先通分子再比较新的分母：即eq\f(60,102)，eq\f(60,95)，eq\f(60,92)，eq\f(60,99)
因为eq\f(60,92)＞eq\f(60,95)＞eq\f(60,99)＞eq\f(60,102)，所以eq\f(15,23)＞eq\f(12,19)＞eq\f(20,33)＞eq\f(10,17)。
这种解法甚为简便，能较好地激起学生的学习兴趣。
三、公式教学中渗透逆向思维
数学公式的两边总是等价的，公式本身是双向的，但是习惯顺序总是由左至右或化繁为简，运用公式解题时大都遵循这样的顺序。但在另一类题中用公式时采用：由右到左，或由简到繁，或公式变形，就形成了对公式的灵活运用，也能形成解题技巧，提高解题能力，培养逆向思维能力，锻炼思维的灵活性。
例3：解方程arcsineq\f(2a,1+a2)+arcsineq\f