数值方法 第２章 解线性方程组的直接解法.doc

第２章解线性方程组的直接解法
§0引言

若非奇异，即，方程组有唯一解。由
Cramer法则，其解

其中为用代替中第列所得的矩阵。当大时，
个行列式计算量相当大，实际计算不现实。

§1Gauss消去法
（I）Gauss消去法的例子
（1）

（2）
方程组与方程组同解
得
（3）
由（3）得

（3）的系数矩阵为，上三角
矩阵。
（II）Gauss消去法，矩阵三角分解

令

第1次消去,
令
作运算：
表示第个方程（第行）

如果令

令

进行k-1步后，得

以上完成了消去过程，A非奇异；倒着求解
这称为回代过程。消去过程和回代过程结合起
来称为（顺序）Gauss消去法，从消去过程可以得出。

其中是一个上三角阵。

记

此矩阵是对角线元素为1的下三角矩阵，称其为单位下三角
阵。
定义1.1设令

是1至阶行列式，称为A的顺序主子式。
Gauss消去过程能进行下去的条件应为
，而此条件必在消去过程中才能知道。
定理1.2全不为零的充分必
要条件是A的顺序主子式
，其中证明“”（必要性）
设，则可进行消去过程的步，每
步由A逐次实行的运算得到，这
些运算不改变相应顺序主子式的值，所以有

“充分性”设命题对于k-1成立，现设
。由归纳假设有
，Gauss消去可以进行k-1步。
化为

其中为对角元为的上三角阵。由于是
由A经“一行（方程）乘一数加至另一行（方程）”逐步得
到的，因此A的k阶顺序主子式等于的k阶顺序主子式，
即

由。
Gauss消去过程

其中L为单位下三角阵，为上三角阵。以后记为U，那
么A=LU
定理1.3非奇异矩阵，若其顺序主子式
，那么存在唯一的单位下三角阵L
和上三角阵U，使得A=LU。
证明Gauss消去过程已给出L，U。
下面证明唯一性
设A有两个分解，
其中为单位下三角阵，为上三角阵，因A
非奇异都可逆。

仍为上三角阵，也是上三角阵，为单位下
三角阵

可以证明，当A为奇异阵时，定理仍成立，A的LU分解
，L为单位下三角阵，U为上三角阵，此分解称Doolittle分
解。若将上三角阵，其中D为对角阵，为单位
上三角阵，并记那么有

其中为下三角阵，为单位上三角阵，此分解称为
Crout分解。

其中L为单位下三角阵，D为对角阵，U为单位上三角阵，
此称为A的LDU分解。
定理1.4非奇异阵有唯一的LDU分解（D为
对角阵，L为单位下三角阵，U为单位上三角阵）的充分必
要条件是A的顺序主子式皆是非零。
如果A奇异，上述定理也成立。
§2列主元Gauss消去法
例2.1用三位十进制浮点运算求解

解用（顺序）Gauss消去法

在3位十进制运算的限制下，得

代回第一个方程得，此解不对求解不对的原因是
用小数作除数，使是个大数，在计算的值完
全被掩盖了：如果对方程组先作变换，
再用Gauss消去法可以得
。
列主元消去法进行第1步消去之前，在A的第1列
中选出绝对值最大的元素即，
其中。
由于A非奇异，有，这一步骤称为选主元。
如果，则消去过程与顺序Gauss消去法一样
如果，则先进行换行，然后再
Gauss消去运算，得。
进行了k-1步选主元，换行和消去的步
骤，得，第k步先选主元，
使
由于非奇异，有
若，则进行顺序Gauss消去法的第k步
若，则对先换行：，然
后再进行类似顺序Gauss消去法的运算。
如上进行n-1步选主元，换行与消去法运算，得
，此方程组与Ax=b等价。为上三
角阵，再回代求解。
例2.2用列主元法解方程组Ax=b，计算过
程取5位数字，其中

解
选主元，，换行

再作行变换

得到

对选列主元，，作换行
，计算

再作行变换，得到

消去过程完。回代计算得解

此题精确解为

而不用列主元的顺序Gauss消去法有

§3直接三角分解方法
（I）Doolittle分解法

根据A的元素来确定L.U中的元素

L，U的元素可由n步直接计算定出，其中第k步定出U的
第k行，L的第k列。
第1步，得出U的第1行
元素。

得出L的第1列的元素。
第k步：
假定已定出U的第1行到第k-1行的元素与L的第1列
到第k-1列的元素。利用矩阵乘法有

计算U的第k行
（1）
对于

计算L的第k列
（2）
由第1步，第2步，…，第n-1步就完成A=LU，
解方程组Ax=b,LUX=b分两步
Ly=by=L-1b 其实，L为单位下三角阵，
逐次向前代入
Ux=yx=U-1y 其实，U为上三角阵，逐次向后
回代
定理3.1非奇异,，
那么Ax=b可用直接分解方法来求解。
例3.2求矩阵

的LU分解
解
①先求出U的第1行

求出L的第1列：

③U的第2行

④L的第2列