数值分析03-线性方程组直接解法2.ppt

第三章第三章目录线性方程组的概念求解Ax=b，曾经学过高斯（Gauss）消元法，克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远
远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面：一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实
现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义，我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正
确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。线性方程组的数值解法§1Gauss消元法例1（续）Gauss消元法的基本步骤1（4阶）可以检查，分别以li1乘第一个方程加到第i个方程上可以完成第一次消元，得同解方程组：Gauss消元法的基本步骤3（4阶）Gauss消元法的基本步骤4（4阶）Gauss消元法的消元过程1、2（n阶）Gauss消元法的消元过程3（n阶）照此消元下去，完成n1次
消元后，可将原方程组化成
同解的上三角形方程组如下：Gauss消元法的回代过程（n阶）Gauss消元法的计算量Gauss法与Cramer法则的计算量比较§2主元素法例2（续1）若在解方程组前，先交换方程的次序，如将（3-8）交换一行与二行改写成如下所示：例2两种解法的误差分析2.2列主元素法列主元素法2.3全主元素法主元素法举例2.4解三对角方程组的追赶法追赶法的解题步骤追赶法举例§3矩阵分解法第二次消元相当于用初等矩阵：经过n1步消元后得到：杜利特尔（Doolittle）分解——LU分解3.2矩阵的三角分解对A进行LU分解对A进行LU分解（i行j列）计算过程应按U第1行、L第1列（第1框），U第2行、L第2列（第2框），……的顺序行。对A进行LU分解的具体步骤矩阵A的LU分解举例三角分解的紧凑格式（1）计算顺序：将aij，uij，lij按表3-1列好，计算
时按框从外到内进行，每一框中先算行。从
左向右依次计算uij；再算列，自上而下求lij；三角分解的紧凑格式举例3.3直接三角分解法直接三角分解法（续）紧凑格式解线性方程组举例所以：三角分解法的几点说明三角分解法的几点说明（续）§4平方根法与改进的平方根法4.1平方根法定理3.2（续）Choleskg分解1Choleskg分解2平方根法举例4.2改进的平方根法改进的平方根法说明改进的平方根法举例§5Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续1）Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续2）这里aij(1)=a1j，上述aij(2)的计算与Gauss消元法基本上相
同，仅仅由于m11与Gauss消元法中的乘数l11不相同引起第
一行元素a1j(2)与aij(2)计算不相同，假若把增广阵中I的各列
视为A的第n+1列，第n+2列，…，那么上述计算公式中的
第二个下标可扩充到2n。Gauss-Jordan消元法求逆阵(续4)Gauss-Jordan消元法求逆阵(续5)设经过k–1
步后得到：Gauss-Jordan消元法求逆阵(续7)Gauss-Jordan消元法求逆阵(续8)Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤（计算其他元素，但少k列，k行）Gauss-Jordan法求逆阵举例§6方程组的性态与条件数6.1向量与矩阵的范数常用的向量范数对2范数Rn中范数的等价性向量的误差矩阵范数常用的矩阵范数常用的矩阵范数（续）最大行和矩阵范数的证明最大行和矩阵范数的证明（续）范数的相容性求范数举例6.2舍入误差的影响及算法的稳定性可以看出，后两个方程组与第一个方程组相比，系数矩阵或右端向量仅有0.0005以下的误差，但准确解却相差很大。方程组的性态和条件数（续1）右端项b产生0.1%的变化引起解的变化
最大变化184%。方程组的性态讨论——病态、良态此不等式表明，当右端项有扰动时，解的相对误差不超过b的相对误差的倍。方程组的性态讨论（续2）方程组的性态讨论（续3）方程组的性态讨论续（3）在b充分小时，
此式右端实际上即为：矩阵的条件数判断病态矩阵的几点参考利用条件数判断矩阵的性态举例第三章定理3.1存在性证明定理3.1唯一性证明