类比思维在高等数学中的应用.doc

职业教育◇高等数学是一切自然科学的基础，高等数学教学的主要目的是要让学生掌握数学的基本理论知识，学会运用数学思维和思想解决HYPERLINK"http://www.goodook.com/wentizhiduoshao"\t"_blank"问题。HYPERLINK"http://www.goodook.com"\t"_blank"(本文来源:轩辕文献网)教学实践证明，只要运用科学的思维方法学习这些理论知识，尤其是对相关内容进行类比，不仅能使难理解的概念容易理解，难记忆的公式更容易记忆，而且可以使解题思路变得更加开阔。1.什么是类比法类比法是指由两个对象内在关系某方面的相似推出他们在结论方面也可能相似的一种推理思维方法，它是数学研究中最基本的创新思维形式，历史上的很多数学结论都是应用这种方法建立的。下面将通过举例来说明大学数学中应用类比法产生的结论：高等数学中，闭区间上的连续函数有如下性质：性质1（最大值与最小值定理）：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。性质2（介值定理）：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)可以取其最大值与最小值之间的一切值。利用类比法，我们可以得到多元函数在闭区域上类似的性质：性质1：在有界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。性质2：设函数f(x，y)在有界闭区域上连续，则f(x，y)可以取其最大值与最小值之间的一切值。如果掌握了得到定积分概念的过程（分割、求和、取极限）的思想，那么二重积分的概念通过类比的方法就很容易得到。在《概率论》中，事件独立性的概念是：设A，B是两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则两个事件A与B独立。在定义两个随机变量之间的独立性时，也有类似的结论：设X，Y是两个A，B随机变量，若（X，Y）的联合分布函数F(x，y)=FX(x)FY(y),则，随机变量X，Y独立。同样，高等数学中的牛顿-莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式和斯托克斯公式也是类比推理方法的产物。在常微分方程的内容中，一阶线性非齐次微分方程的通解是其对应的齐次微分方程的通解加该非齐次微分方程的特解，通过类比可得到以下结论：结论1：二阶线性非齐次微分方程的通解是其对应的齐次微分方程的通解加该非齐次微分方程的特解。结论2：在线性代数中，线性非齐次方程组的通解是其对应的齐次方程的通解加该非齐次方程组的特解。类比方法不仅在同一学科的研究中有重要作用，而且在不同学科中也有经常使用。在高等代数中，若V1,V2是线性空间V的子空间，则dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2).在概率论中，若是样本空间中的两个随机事件，则P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)–P(A1∩A2)。在中心极限定理的内容中，列维-林德伯格中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理中的表达式，好多初学者感到难于记忆，但是把它与一般正态分布变为标准正态分布的变换联系起来考虑，就很容易记忆，这就是类比法的效果。2.加减法类比微积分数学学习中的概念让我们“认识事物”，定理及证明让我们“提出问题”“解决问题”。有了这些理论基础，所有的题目只是对真理的检验而已。微积分是高等数学的主要内容，也是最难学的内容之一。因此，老师在讲授过程中，一方面要缓解学生的恐惧心理，另一方面能让学生在原有知识的基础上学习新的知识。已知知识：“＋”，“－”，“＊”，“／”四种运算。未知知识：正如加法有其逆运算，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算—积分法。通过类比，我们知道所要学习的新知识“积分法”不过是微分的逆运算而已。3.线面垂直类比多元函数极限定义已知知识：定义：如果直线l垂直于面α的任意一条直线，则称这条直线与这个平面垂直。认识事物：通过定义我们知道了什么是线面垂直。提出问题：一个平面是有无数条直线，我们不可能验证平面上每一条直线与l垂直。解决问题：我们知道两条相交直线确定一个平面，因此我们有了线面垂直的判断定理。进一步思考，如果已知直线垂直于平面，那么很容易得出这条直线垂直于面上的任意一条直线。未知知识：二元函数z＝f（x，y），其中点p0是f（x，y）的某个定义域的内点或边界点。如果在p（x，y）→p0（x0，y0）的过程中，对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，就称A是函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，并记作lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）＝A认识事物：通过定义，我们知道了二元函数的极限。提出问题：极限研究的是自变量在某个变化过程中，函数值的变化趋势，一元函数时趋近方式有两种，所以左右极限存在且相等，我们就可以说极限存在，同样在二元函数中，自变量在趋于某一点时的方式有无穷多种，按照定义，如果极限存在，必须每一种方式趋于某点时极限必须都存在且相等。显然，我们是无法