§5.1-平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理(试题部分).docx

专题五平面向量
【真题探秘】

§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
探考情悟真题
【考情探究】

考点内容解读5年考情预测
热度考题示例考向关联考点平面向量
的线性运
算及其几
何意义①理解平面向量的有关概念及向量的表示方法;②掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义2018课标全国Ⅰ,7,5分平面向量的混合运算—★★☆2017课标全国Ⅱ,4,5分平面向量的有关概念垂直、平行、模的关系平面向量
基本定理
及向量的
坐标运算①了解平面向量基本定理及其意义;②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面向量共线的条件2018课标全国Ⅲ,13,5分平面向量的坐标运算两向量平行的充要条件★★☆2016课标全国Ⅱ,13,5分平面向量的坐标运算两向量平行的充要条件2019课标全国Ⅱ,3,5分平面向量的坐标运算向量的模
分析解读
从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.

破考点练考向
【考点集训】
考点一平面向量的线性运算及其几何意义
1.(2020届西南地区名师联盟8月联考,2)如图,向量a-b等于()

A.-e1+3e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.-2e1-4e2
答案A
2.(2020届河北邢台第一次联考,5)如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则AB=()

A.AC-AD B.2AC-2AD
C.AD-AC D.2AD-2AC
答案D
3.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是()
A.λμ=1 B.λμ=-1
C.λ-μ=1 D.λ+μ=2
答案A
4.(2019广东普宁一中月考,9)在△OAB中,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB,则1λ+1μ=()
A.13 B.23 C.29 D.92
答案D

考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算
1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是()
A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
答案D
2.(2020届山西长治二中等六校9月联考,3)已知平面向量a=(-1,2),b=(2,y),且a∥b,则3a+2b=()
A.(-1,7) B.(-1,2) C.(1,2) D.(1,-2)
答案D
3.(2019四川成都石室中学一诊,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量AP=λDB+μAD,则λ+μ的最大值为.
答案2

炼技法提能力
【方法集训】
方法1向量共线问题的求解方法
1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与CD的方向相反,则|a|=()
A.1 B.2 C.22 D.2
答案C
2.设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;
(3)设OM=ma,ON=nb,OP=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M、N、P三点共线,求证:αm+βn=1.
答案(1)证明:∵AB=OB-OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,BC=OC-OB=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2AB,
∴AB与BC共线,且有公共点B,
∴A、B、C三点共线.
(2)∵8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)⇒(8-λk)a+(k-2λ)b=0.
∵a与b为不共线的非零向量,
∴8-λk=0,k-2λ=0⇒8=2λ2⇒λ=±2.
∴k=2λ=±4.
(3)证法一:∵M、N、P三点共线,
∴存在实数μ,使得MP=μPN,
∴OP=OM+μON1+μ=m1+μa+μn1+μb.
∵a,b为不共线的非零向量,OP=αa+βb,
∴α=m1+μ,β=μn1+μ.
∴αm+βn=11+μ+μ1+μ=1.
证法二:∵M、N