§8.4-直线、平面垂直的判定与性质(试题部分).docx

§8.4直线、平面垂直的判定与性质
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一直线与平面垂直的判定与性质
1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()
A.α⊥β且m⊂αB.α⊥β且m∥α
C.m∥n且n⊥βD.m⊥n且n∥β
答案C
2.下列命题中错误的是()
A.如果平面α外的直线a不平行于平面α,则平面α内不存在与a平行的直线
B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γ
C.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交
答案C
3.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,E、F分别是A在PB、PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.
其中正确命题的序号是.

答案①②③
4.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.

解析因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,
由底面ABCD为长方形,得BC⊥CD,因为PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD,因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.
又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.
因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.
因为PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.
又PB⊥EF,DE∩EF=E,
所以PB⊥平面DEF.
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.
考点二平面与平面垂直的判定与性质
5.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,给出下列结论:
①AD∥平面PBC;
②平面PAC⊥平面PBD;
③平面PAB⊥平面PAC;
④平面PAD⊥平面PDC.
其中正确结论的序号是.

答案①②④
6.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.

解析(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,
所以PA⊥平面ABC.因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.
(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.
(3)因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2.
由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=13×12BD·DC·DE=13.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;
(3)求证:EF∥平面PCD.

证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)取PC的中点G,连接FG,DG.

因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12BC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12BC.所以DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一证明直线与平面垂直的方法
1.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()
A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC
答案C
2.(2018课标全国Ⅱ,1