多元函数微分学的几何应用.pdf

一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线三、小结三、小结思考题思考题机动目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面ψ⎧=ϕtx)(⎪ω.1Γ为⎨=ty)(t≤≤βα)(型——【基本情形】⎪⎩=tz)(⎧=ϕtx)(⎪设空间曲线Г的参数方程为：⎨=ψty)()1(⎪⑴式中的三个函数均可导.⎩=ωtz)(设zyxM000)(对应于=tt0;z•M′M′0Δ+xxy0+Δyz0+Δz)(对应于Δ+=ttt.0•割线MM′的方程为Mx−xy−yz−zoy0=0=0xΔxΔyΔz考察割线趋近于极限位置——切线的过程机动目录上页下页返回结束上式分母同除以ΔtFlash动画演示x−x0y−y0z−z0==当′tMM时即0ΔxΔyΔz→Δ→ΔtΔtΔt−xx0−yy0−zz0曲线在M处的切线方程==.′t0′t0ωψϕ′t0)()()(【切向量】切线的方向向量称为曲线的切向量.G=ϕ′ψ′ω′tttT000))()()((【切向量指向】与参数t增大时点M移动的走向一致.【法平面】过M点且与切线垂直的平面.ϕ′t0x−x0+ψ′t0y−y0+ω′t0z−z0=0))(())(())((机动目录上页下页返回结束t【例1】求曲线Γ:=ucosuduexy=sin2t∫0+costz=1+e3t在t=0处的切线和法平面方程.【解】当t=0时x=y=z=210′=ttexcosy′=t−tsincos2′=ez3t3⇒x′=1)0(y′=2)0(z′=3)0(x−0y−1z−2切线方程==123法平面方程x+y−+z−=0)2(3)1(2即x+y+z−=.0832机动目录上页下页返回结束⎧=ϕxy)(.2Γ为⎨型——【特殊情形1】基本情形⎩=ψxz)(⎧=xx⎪对此类空间曲线Г可看成以x为参数的方程：⎨=ϕxy)(⎪