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第八章Mathematica在量子力学中的应用举例

§8.1粒子在中心力场中的运动问题

mMZe2
设电子与原子核的约化质量为µ=e,V(r)=−，哈密顿量为
me+Mr
G
=2pˆ2=2∇2
Hˆ=+V(rˆ)=−+V(r).(8.1.1)
2µ2µ
其中r为粒子所处的空间位置到中心势原点的距离。利用中心势的球对称性，我们将薛定格
方程写为在球坐标中的表示

=2∂∂1∂∂1∂2
−r2+sinθ+ψr,ϑ,ϕ=(E−V(r))(ψr,ϑ,ϕ).
222()
2µr∂r∂rsinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ

(8.1.2)

GGG
角动量算符的定义为：L=x×p。可以证明[Lˆ,Hˆ]=0，所以角动量Lˆ是守恒量，即在中心

力场中运动粒子的一个重要特征是角动量守恒。由此可以得到Lˆ2（角动量的平方）也是守

ˆˆ2ˆ
恒量。在求解中心力场作用下粒子的能量本征方程时，(H,L,Lz)构成对易算符的一个完全
集。

ˆ2
21∂2∂L.(8.1.3)
∆≡∇=2r−2
r∂r∂r=

其中在球坐标中的角动量平方算符可以表示为：

2
221∂∂1∂
ˆ.(8.1.4)
L=−=sinθ+22
sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ

薛定格方程(8.1.2)则可以写为

2ˆ2
=∂2∂L.(8.1.5)
−2r−2ψ()r,θ,ϕ=(E−V)ψ(r,θ,ϕ)
2µr∂r∂r=

波函数ψ(r,θ,ϕ)与极角θ（−π/2≤θ≤π/2）和方位角ϕ(0≤ϕ≤π)的关联是由算符Lˆ2和

ˆ
Lz决定的。假定满足薛定格方程的本征波函数ψ(r,θ,ϕ)可以分离变量表示为

ψ()r,θ,ϕ≡R(r)(Yθ,ϕ)≡R(r)Θ(ϑ)Φ(ϕ).(8.1.6)
ˆˆ∂
Lz在球坐标系中可以表示为：L=−i=.该算符的本征值由求解本征方程
z∂ϕ

∂
−i=Φ()ϕ=LΦ(ϕ)，(8.1.7)
∂ϕz
来得到。方程（8.1.7）的解为

Φ(ϕ)=AeiLzϕ/=.(8.1.8)

由于（8.1.8）式所示波函数解必须唯一确定，因而它也必定满足条件：Φ()ϕ=Φ(2π+ϕ)，

并且角动量算符ˆ的本征值应当是离散的，其本征值表示为：，.
LzLz=m=(m=0,±1,±2,...)
由本征波函数的归一化条件，方程（8.1.7）归一化的解可以写为

1
Φ()ϕ=eimϕ.(8.1.9)
2π

类似地，对另一个守恒量-角动量平方，我们有本征方程：

1∂∂1∂2
ˆ2=22.(8.1.10)
LY()θ,ϕ=−sinθ+22Y()θ,ϕ=LY(θ,ϕ)
sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ

22
方程(8.1.10)的解是球谐函数Yl,m。如果本征值满足L=l(l+1)=，方程(8.1.10)写为

2
1∂∂1∂.(8.1.11)
sinθ+22+l(l+1)Yl,m()θ,ϕ=0
sinθ∂θ∂θsinθ∂ϕ

ˆ2
角动量算符L作用在球谐函数Yl,m上的本征值由角量子数l=0,1,2,...决定。对应于确定的

角量子数l，算符Lˆ2的本征值则为l(l+1)=2，此时磁量子数m则描写该角动量在z轴上的

投影，它的取值范围为：m=0,±1,±2,...,±l。这就是说：对确定的角动量量子数l，应当

有2l+1个本征函数Yl,m。对磁量子数m为正时的情况，球谐函数的完整表达式为

m()l−m!(2l+1)
Y()θ,ϕ=(−1)Pm(cosθ)eimϕ.(8.1.12)
l,m()l+m!4πl

m
其中Pl(x)为l阶的第m个伴随勒让德函数。如果磁量子数为负时（−m），其球谐函数满
足如下关系式
(l−m)!
Y()θ,ϕ=(−1)mY*(θ,ϕ).(8.1.13)
l,−m()l+m!l,m

ˆ
显然，球谐函数Yl,m也是算符Lz的本征函数。容易证明类似(8.1.7)式，球谐函数Yl,m满足：

∂
LˆY≡−i=Y=m=Y.(8.1.14)
zl,m∂ϕl,ml,m

ˆ2ˆ
因而球谐函数Yl,m既是角动量算符平方L，也是角动量算符的z分量Lz的本征函数。在
Mathematica中球谐函数表示为SphericalHarmonicY[]。勒让德多项式表示为
LegendreP[]。

将（8.1.6）式代入薛定格方程(8.1.2),再应用上面推导出的角动量部分波函数所满

足的薛定格方程，可以得到本征波函数ψ(r,θ,ϕ)表示中的径向部分R(r)应当满足的方程。

22
dR2dR2µZel(l+1).(8.1.15)
2++2E+−2R