第二章 优化设计.doc

第2章优化设计
优化设计是在满足一定的约束前提下寻求目标函数极大值或极小值的过程。实际上，自然界中很多现象都是以优化的方式存在的，如在金属和合金中，原子占据能量最小的位置以形成晶胞，这些晶胞决定了材料的晶体结构；在零重力条件下一滴液体的形状是一个完美的球，因为在体积一定的条件下，球的表面积最小；树的支干在根部变粗以抗弯，蜂巢结构是最紧凑的包装排列方式之一等，而遗传和变异对生存来讲是自然界优化过程的又一实例。和自然界一样，社会和企业中的许多问题也在追求最优化状态，然而这些问题的解多数情况下都基于判断和经验。随着企业之间的竞争加剧和用户要求的不断提高，要求得到最优解而不仅仅是可行解，在大规模零件生产中的很小的节约也会企业带来可观的效益。在车辆设计中，质量的最小化可以影响到燃油效率，提高载重量和性能。
优化设计是应用数学的方法寻求最优设计的过程，所以首先要根据实际的设计问题建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际设计问题。在建立数学模型时需要应用专业知识确定设计的限制条件和所追求的目标，确定设计变量之间的相互关系等。数学模型一旦建立，优化设计问题就变成一个数学求解问题，应用优化理论，根据数学模型的特点，以计算机作为工具，设计优化程序，可求得最佳设计参数。
2.1优化设计的基本概念
(1)优化设计的数学模型
优化设计的数学模型，就是描述优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和优化意图的数学表达式。
建立数学模型是优化设计的基础，数学模型能否严密而准确地反映优化问题的实质，是优化设计成败的关键。
优化设计的数学模型包括设计变量、目标函数和约束条件三个要素。
(2)设计变量
所谓产品设计，其核心就是要寻找并确定最佳的结构参数。这些参数中，有的可根据标准、规定等选定，在优化设计中可认为是设计常量，有的必须通过设计确定，这些参数称为设计变量。例如在齿轮设计中，可以把静摩擦系数、系列化齿轮传动的中心距等作为设计常量，而把齿数、模数、齿宽等作为设计变量。
设计变量可分为连续变量和离散变量两种。大多数机械优化问题中的设计变量都是连续变量，可用常规的优化方法进行求解。若变量只能取跳跃式的值才有意义，则称为离散变量，如齿轮的齿数、模数等。对于离散变量的优化问题既可以用离散优化方法求解，亦可先将其视为连续变量，用常规的优化方法求得优化结果后，再进行圆整或标难化处理，以求得最优解。
设计变量的个数称为优化问题的维数，如有个设计变量，则称为维优化设计问题。设计变量可写为

这种以个设计变量为坐标轴组成的实空间称为维实空间，用表示。这样，具有个分量的一个设计变量对应着维设计空间中的一个设计点，用符号表示，它代表具有个设计变量的一个设计方案。当维数时，如图2-1(a)所示，设计变量、组成二维设计空间。当维数时，如图2-1(b)所示，设计变量、、组成三维设计空间。当＞3时，设计空间无法用图形表示，称为超越空间。

〔a〕二维设计空间(b)三维设计空间
图2-1优化设计空间
(3)目标函数
为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，用表示。
建立目标函数，是整个优化设计中比较重要的问题，它既要反映用户的要求，又要敏感地、直接地反映设计变量的变化。一般情况下，目标函数与设计变量应有明显的函数关系。由于目标函数可以直接用来评价设计方案的好坏，所以又称目标函数为评价函数。
在机械产品设计中，目标函数主要按设计准则要求来建立。在零件和部件设计问题中，可以用重量、体积、效率、可靠性、承载能力等表示；在机构优化设计问题中，这种准则可以是运动学和动力学的性质；对于产品设计，也可以将成本、价格、寿命等作为所追求的目标。
在某些设计中，可能存在两个或两个以上的优化设计目标，如设计一台机器时，期望得到最低的造价和最小的维护费用等。具有两个或两个以上的设计目标的优化设计，称为多目标优化设计。
优化问题一般统一用极小化来描述。即
（2-1）
实际工程设计问题中有追求极大化的，如效率最高、容积最大、承载能力最高等。这时可转化为其负值的最小问题来处理。即：
（2-2）
(4)HYPERLINK"http://jw.dhu.edu.cn/jixie/youhua/website/ar1_2_3.htm"\t""约束条件
任何设计，都有各种各样的限制条件，例如强度、刚度等。每个限制条件都可写成包含设计变量的函数，称为约束条件。
函数约束的形式有不等式约束和等式约束两种：
（1）不等式约束

（2）等式约束

对设计变量的可能取值范围的限制：
，
其中：和分别为设计变量的下界和上界。
确定约束函数时应注意，不能有矛盾约束，可行域不能无界，尽量避免等价约束，也不能遗漏必须的约束。
带有设计约束条件的优