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课堂问题变式教学在几何概型中的运用
张璐
在高中数学教学中，课堂问题变式教学具体包括教师在课堂上引用的例子、讲解的例题以及要求学生在课堂上完成的练习和解答的思考问题.课堂问题变式教学不仅是给学生形式上的参与和表象上的传授，关键是使学生对问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等方面有更深层次的理解，从而使学生能够成功辨别各种变异，掌握特定的数学知识和方法.
课堂问题变式教学在苏教版《必修3：概率》中的“几何概型”中的运用：
问题1：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率有多大？
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
问题2：如图所示，靶子由3个半径为R，2R，3R的同心圆组成，
如果有人向靶子随机掷一个飞镖，命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别
为P1,P2,P3,则P1:P2:P3=.
几何概型：P（A）=EQ\F(d的测度,D的测度)
问题1的测度比为长度比，问题2的测度比为面积比.
A
M
D
B
C
·
例1.（问题1的变式）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M,求AM小于的AC概率.
解析：在AB上取一点D，使AD=AC，因为AM＜AC，所以M在AD上取
y
x
1
－1
－1
6x－3y－4=0
o
1
所以P（AM＜AC）=EQ\F(AD,AB)=EQ\F(AC,AB)=EQ\F(EQ\R(,2),2)
例2.（问题2的变式）现向如图所示的正方形内随机的投掷飞镖，
求飞镖落在阴影部分的概率.
解析：x=1,y=EQ\F(2,3);y=－1,x=EQ\F(1,6).S△=EQ\F(1,2)(1+EQ\F(2,3))(1－EQ\F(1,6))=EQ\F(25,36)
所以P=EQ\F(S△,S正)=EQ\F(25,36)
问题1和问题2是两个引例，例1与例2分别是问题1与问题2的变式，对于几何概型中的“事件A发生的概率等于测度比”作了一个很好的诠释，也体现了与古典概型的本质区别，同时也体现了测度可表示为长度、面积等，让学生对知识有了进一步认识.
y
x
60
o
20o
20
例3.（例2的变式）两人相约在8点到9点会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，那么两人能见面的机会有多大？
解析：设甲到达时刻为x（分钟）,乙到达时刻为y（分钟）,则
0≤x≤60，0≤y≤60，
60
︱x－y︱≤60，要使两人见面，必须满足图中阴影部分面积
所以P=EQ\F(S阴影,S正)=EQ\F(5,9)

B
O
A
L
·
·
·
例4.（例3的变式）在区间(0,L)内任取两点，求两点之间的距离小于EQ\F(L,3)的概率.
解析：设A坐标x,B坐标y,设OA=x,OB=y，则
0＜x＜L，0＜y＜L，
y
x
60
o
20o
20
︱y－x︱＜EQ\F(L,3)，要使两点之间的距离小于EQ\F(L,3)，
必须满足图中阴影部分面积
所以P=EQ\F(S阴影,S正)=EQ\F(5,9)
例3与例4分别是上一题的变式，虽然背景不同，
C
O
A
B
E
F
但从分析的本质上来看是完全相同的，让学生对用几何概型解决实际问题有了更深的认识.
课堂练习：
在圆心角为900的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，
求使得∠AOC和∠BOC都不小于的300概率.
学生分析：此题弧长，角度，面积都可以作为测度.
思考：.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜
的任意时刻到达，设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别为2小时与4小时，求有一艘轮船停靠泊位必须等待一段时间的概率.
通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探索研究，有意识地引导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探索变的规律，从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力和素质.
在以构建系统知识为取向的现有课堂教学中，实施有效课堂问题变式教学的关键在于确定合适的潜在距离和合理的变异空间.问题变式安排应遵循以下基本原则：第一，在问题的外貌特征上，后一问题与前一问题相近；第二，在问题的结构上，后一问题与前一问题相近；第三，在变异增加的数量上，每一问题应该逐渐增加；第四，在变异增加的内容上，因该从简单到复杂，从具体到抽象.变式训练不是简单的重复，关于特定数学内容的问题变式，有助于帮助学生关注特定数学内容的不同方面，有助于促使学生产生体验新的知识的深切体会，有助于促成学生形成看待原有问题的全新视角.所有这些，就其外在表象而言，接触了更多的变异，就其内在而言，产生了深刻的理解.
参考文献：
1徐国土.谈谈变式教学中问题结构条件的认识.中学数学教学参考，2006，9
2罗新兵，罗增儒.课堂问题变