定积分教学设计.doc

定积分的简单应用

一、教学目标
知识与技能目标：
（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；
（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。
过程与方法目标：
通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。
情感态度与价值观目标：
通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。
二、教学重点与难点
1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。
2、难点：将实际问题化归为定积分的问题，正确计算。
三、教学过程
（一）创设问题情境：
复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？
x
y
N
M
O
a
b
A
B
C
D

3、微积分基本定理是什么？
引入：．计算2．计算
思考：用定积分表示阴影部分面积
选择X为积分变量，曲边梯形面积为

（二）研究开发新结论
1计算由抛物线在上与X轴在第一象限围成图形的面积S.
2计算由抛物线在上与X轴在第一象限围成的图形的面积S.
总结解题步骤：1找到图形----画图得到曲边形.
2曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
3定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
4计算定积分.

（三）巩固应用结论
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
y=x2

O
x
y
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、
（1，1），面积S=，所以=eq\f(1,3)
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习计算由曲线和所围成的图形的面积.

例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7一2)，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例1不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与x轴的交点．
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1.7一2阴影部分的面积．
解方程组得直线与曲线的交点的坐标为（8,4).
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2

由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
（四）总结概括结论
求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤：
做出示意图（找到所求平面图形）
求交点坐标（确定积分上、下限）
确定被积函数
列式求解
（五）练习
x
y
o
y=－x2+4x-3
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：

2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为

3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为

x
x
O
y=x2
A
B
C
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲
线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为