定积分与微积分_教学设计.doc

《定积分与微积分基本定理》教学设计

教材分析知识与技能目标
1、通过复习了解定积分的实际背景、基本思想、概念；
2、通过复习了解微积分基本定理的含义；
3、通过复习掌握定积分解决相关计算与面积问题；
4、通过复习了解定积分在物理中的应用。情感态度与价值观目标通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系；能力目标培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。重难点剖析重点：了解微积分基本定理的含义;
并能正确运用基本定理计算简单的定积分;
掌握曲边梯形面积的求法。难点：定积分求体积以及在物理中应用。高考要求⑴了解定积分的实际背景；⑵了解定积分的实际思想；⑶了解定积分的概念及基本定理。学生分析
大多数学生的基础比较薄，但积极性高，少数的有一定的主动性，积极思考问题与动手能力。所以教学方式：以点带面，提高学习数学的兴趣！
教学过程与设计一、热身练习：定积分的概念及用定义计算

1、设则的值是（D）

A、B、

C、D、

2、等于（D）

A、2ln2B、-2ln2C、-ln2D、ln2
3、一质点运动速度和时间的关系为，质点作直线运动，则质点在时间[1，2]内的位移为（A）
A、17/6B、14/3C、13/6D、11/6

4、已知函数，若成立，

则。

5、曲线与直线及x轴所围成图形面积

为________。

教学设计：学生分组练习，教师巡视，发现问题，解决问题。提名学生回答后，小题点拔，进行知识回顾。
二、知识回顾
1、定积分相关概念：在中，a，b分别叫积分下限与积分上限，区间[a，b]叫积分区间，叫被积函数，x叫积分变量，叫被积式。
2、定积分的几何意义：
（1）当函数在区间[a，b]上恒为正时，定积分的几何意义是由直线x=a，x=b，y=0（即x轴）和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积。

一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴，曲线f（x）以及直线x=a、x=b之间的面积的代数和；其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数。

3、定积分的基本性质

（1）

（2）

（3）

4、微积分基本定理
如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且，那么

这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼兹公式。

常把F（b）-F（a）记成，即

典例分析
考点一、定积分的计算

例1、计算下列定积分

（1）（2）

（3）（4）

（5）

教学设计：先由学生思考或讨论，再点名学生板书，个别点拔，集中讲解相结合。第（5）小题点基础好一点的或教师视情况决定可直接点拔讲解。
参考答案：（1）14/3；（2）；（3）；
（4）1；本小题还可数形结合帮助理解；

（5）数形结合：表示

的图象与x=-a，x=a，y=0所围成的图形的面积。是以原点为圆心，半径为a的上半圆，面积为。
所以
发散思维：如果表示的图是下半圆呢？

答案：即有

引导学生小结：求定积分的一些技巧1、对被积函数要先化简，再求定积分；2、被积函数是分段函数，则分段求定积分再求和；3、对含绝对值符号的被积函数，讨论去绝对值符号才能求被积分；4、利用微积分基本定理不易求解时，可考虑得用定积分的几何意义求解；5、若f（x）是偶函数，且在[-a，a]上连续，则

若f（x）是奇函数，且在[-a，a]上连续，则

考点二、利用定积分求面积问题
例2、由曲线，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积是（C）
A、10/3B、4C、16/3D、6
教学设计：本题学生基本上能根据数形结合得出结论；要在学生练习中发现不同的思维解法！
解法一：由图形

解法二：由图形

发散题：若将“y=x-2”改为“y=-x+2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？
教学设计：交给学生解决：7/6；
然后引导学生小结。
小结：利用定积分求曲边梯形面积的步骤
（1）画出曲线的草图；
（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
（3）将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差；
（4）计算定积分，写出答案。
练习：
已知函数的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域的面积为1/12，求a的值。
x
y
o

教学设计：本题综合较强，采用引导观察，点拔成金的方式：
提醒学生注意函数过原点，有c=0；
而且是在x=0处有一个极大值点，即
所以有b=0，从而有，
则与x轴另一交点为-a，所以阴影部分面积

所以a=-1。（为什么a=1要舍去？注意在这让学生反思。）
考点三、定积分在物理中的应用
例3、物体按规律（米）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10米/秒时，阻力为2牛，求物体从x=0到x=2阻力所做的功。
教学设计：本题对学生来说有点难度，故采