线性代数齐次方程组解法.doc

线性代数
矩阵与线性方程组
D=
按第一列展开，再将各列的公因子提出来
D=
=(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1)
得到的k－1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为

于是D=(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1)=
因此，对于任意正整数n≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。证毕
例1.14计算n阶三对角行列式：
Dn=
解由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和，得
Dn=+
第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得
Dn=Dn－1+=Dn－1+1
反复利用上面的递推公式，得到
Dn=Dn－1+1=Dn－2+2=…=D1+n－1=2+n－1=n+1
例1.15计算n阶行列式
Dn=(ai≠b,i=1,2,…,n)
解对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。
Dn=
第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得
Dn=
第二列乘以加到第一列上去，第三列乘以加到第一列上去，依次类推，最后一列乘以加到第一列上去，得到
Dn=
=
1.4行列式的应用
1.4.1克拉默法则
本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设n个未知量n个方程的线性方程组为
（1.18）
简记为
=bk(k=1,2,…,n)（1.19）
它的系数构成的行列式
D=(1.20)
称为方程组（1.18）的系数行列式。
定理1.7如果方程组（1.19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：
x1=,x2=,…,xn=(1.21)
这里Dj(j=1,2,…,n)是把方程组的常数项b1,b2,…,bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式。
通常称这个定理为克拉默（G.Cramer）法则。
证明取正整数1,2,…,n中任意一个为j，以A1j,A2j,…,Anj分别乘以方程组中第一，第二，…，第n个方程，然后相加，得
()x1+()x2+…+()xj+…+()xn=(1.22)
由性质1.13可知，方程左边xj的系数为D，而其它的xi的系数为零；方程右边恰好是用b1,b2,…,bn依次替换D中第j列每个元所得到的行列式Dj，因此有
Dxj=Dj
令j=1,2,…,n，就得到方程组
Dx1=D1,Dx2=D2,…,Dxn=Dn(1.23)
显然方程组（1.18）的解是（1.23）的解，而当D≠0时，方程组（1.23）有惟一解：
x1=,x2=,…,xn=（1.24）
因此，方程组（1.18）最多有一组解。
将（1.24）代入（1.18）的第i个方程，得
=()==bi(i=1,2,…,n)
则（1.24）的解是（1.18）的解。而且是唯一解。证毕
例1.16解线性方程组

解系数行列式
D==196
由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时
D1==－54D2==38
D3==80
则有

用克拉默法则解一个有n个未知量、n个方程的线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。
1.4.2拉普拉斯定理
行列式按任意一行（列）展开的方法可以推广到按若干行（列）展开。行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。
在n阶行列式D中任选k行和k列，位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式；而划去这k行k列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n－k阶行列式N，称为M的余子式；如果k阶子式在D中所在的行、列的序号依次为，i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk,则把

称为M的代数余子式。
例如
D=
从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M；M的余子式记为N，具体写出来就是：
M=N=
M的代数余子式为（－1）2+3+1+3N=－N
定理1.8在n阶行列式中任取k行（列），则由这k行（列）的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。
通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace）定理，证明从略。
例1.17利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开
D=
解D中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个
M1==3,M2==1,M3==0
M4==1,M5==0,M6==0
其中M1,M2,M4的代数余子式为
A1=(－1)1+2+1+2=13,A2=(－1)1+2+1+3=4
A4=(－1)1+2+2+3=0
由拉普拉斯定理知
D=M1A1+M2A2+M3A3+M4A4+M5A5+M6A6=3×13+1×4=43
由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单。
例1.18计算n阶行列式
D=
解先做n－2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做