线性代数齐次方程组解法.doc

D=按第一列展开，再将各列的公因子提出来D==(a2－a1）（a3－a1）…(ak－a1)得到的k－1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为于是D=（a2－a1)(a3－a1)…（ak－a1)=因此，对于任意正整数n≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。证毕例1.14计算n阶三对角行列式:Dn=解由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和,得Dn=+第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行,得Dn=Dn－1+=Dn－1+1反复利用上面的递推公式，得到Dn=Dn－1+1=Dn－2+2=…=D1+n－1=2+n－1=n+1例1.15计算n阶行列式Dn=（ai≠b，i=1，2，…，n)解对于这个行列式,采用一种“加边”的技巧。Dn=第一行乘以(－1）加到其他各行上去，得Dn=第二列乘以加到第一列上去,第三列乘以加到第一列上去,依次类推，最后一列乘以加到第一列上去，得到Dn==1。4行列式的应用1。4.1克拉默法则本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设n个未知量n个方程的线性方程组为（1。18）简记为=bk（k=1，2,…，n）（1.19）它的系数构成的行列式D=(1.20）称为方程组（1。18）的系数行列式。定理1.7如果方程组（1。19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：x1=,x2=，…，xn=（1。21）这里Dj（j=1，2，…,n）是把方程组的常数项b1,b2,…，bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式。通常称这个定理为克拉默（G。Cramer)法则。证明取正整数1,2,…，n中任意一个为j，以A1j，A2j，…,Anj分别乘以方程组中第一，第二，…，第n个方程，然后相加，得（）x1+()x2+…+（）xj+…+（）xn=(1。22）由性质1.13可知，方程左边xj的系数为D,而其它的xi的系数为零;方程右边恰好是用b1,b2,…，bn依次替换D中第j列每个元所得到的行列式Dj,因此有Dxj=Dj令j=1,2,…,n，就得到方程组Dx1=D1，Dx2=D2,…,Dxn=Dn（1。23)显然方程组(1.18）的解是(1.23)的解,而当D≠0时，方程组（1。23）有惟一解:x1=，x2=，…，xn=（1.24）因此，方程组（1.18)最多有一组解.将（1。24）代入（1。18）的第i个方程，得=(）==bi(i=1，2，…，n)则（1.24）的解是（1。18）的解。而且是唯一解.证毕例1。16解线性方程组解系数行列式D==196由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时D1==－54D2==38D3==80则有用克拉默法则解一个有n个未知量、n个方程的线性方程组,需要计算n+1个n阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。1。4.2拉普拉斯定理行列式按任意一行(列）展开的方法可以推广到按若干行(列）展开.行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。在n阶行列式D中任选k行和k列,位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k阶行列式M,称为行列式D的k阶子式；而划去这k行k列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n－k阶行列式N,称为M的余子式；如果k阶子式在D中所在的行、列的序号依次为，i1，i2，…,ik,j1，j2，…,jk,则把称为M的代数余子式。例如D=从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M;M的余子式记为N,具体写出来就是：M=N=M的代数余子式为（－1）2+3+1+3N=－N定理1.8在n阶行列式中任取k行（列），则由这k行（列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace）定理,证明从略。例1。17利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开D=解D中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个M1==3,M2==1，M3==0M4==1,M5==0,M6==0其中M1,M2,M4的代数余子式为A1=(－1）1+2+1+2=13,A2=（－1)1+2+1+3=4A4=（－1)1+2+2+3=0由拉普拉斯定理知D=M1A1+M2A2+M3A3+M4A4+M5A5+M6A6=3×13+1×4=43由此可见,当选出的行（列)中所组成的k阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单.例1。18计算n阶行列式D=解先做n－2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做n－2次相邻列的互换,使最后一列换到第二列的位置上D=(－1)n－2=用拉普拉斯定理,可得D=·=an－2(a2－b2）1.4。3方阵与行列式行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A，B为n阶方阵,为数）性质1.14de