齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿).doc

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)=r<n,若AX=0（A为矩阵）的一组解为,且满足：(1)线性无关;(2)AX=0的)任一解都可由这组解线性表示.则称为AX=0的基础解系.称为AX=0的通解。其中k1,k2,…,kn-r为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（A为矩阵）满足，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是.（注：当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于.2、非齐次线性方程组的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组所对应的同解方程组。由上述定理可知，若是系数矩阵的行数（也即方程的个数），是未知量的个数，则有：当时，，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式；（3）当且时，若系数矩阵的行列式，则齐次线性方程组只有零解；（4）当时，若，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若，则齐次线性方程组无解。1、求AX=0（A为矩阵）通解的三步骤（1）（行最简形）;写出同解方程组CX=0.(2)求出CX=0的基础解系;(3)写出通解其中k1,k2,…,kn-r为任意常数.【例题1】解线性方程组解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵显然有，则方程组仅有零解，即.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式：，知方程组仅有零解，即.注：此法仅对n较小时方便【例题2】解线性方程组解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵可得，则方程组有无穷多解，其同解方程组为（其中，，为自由未知量）令，，，得；令，，，得；令，，，得，于是得到原方程组的一个基础解系为，，.所以，原方程组的通解为（，，）.二、非齐次线性方程组的解法求AX=b的解（）用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关其中所以知时,原方程组无解.时,原方程组有唯一解.时,原方程组有无穷多解.其通解为，为任意常数。其中：为AX=b导出组AX=0的基础解系，为AX=b的特解，【定理1】如果是非齐次线性方程组AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。【定理2】如果是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为：其中：是非齐次线性方程组的一个特解，是导出组的一个基础解系。【例题3】判断下列命题是否正确,A为mn矩阵.(1)若AX=0只有零解,则AX=b有唯一解.答:错,因r(A)=n,r(A)=n=r(A|b)(2)若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解.答:错,因r(A)<n,r(A)=r(A|b)(3)若AX=b有唯一解,则AX=0只有零解.答:对,r(A)=r(A|b)=n.(4)若AX=0有非零解,则ATX=0也有非零解.答:错,A为mn,r(A)=m<n,r(AT)=m,这时ATX=0只有零解.例如A为34,R(A)=3<4,r(AT)=3=m.(5)若r(A)=r=m,则AX=b必有解.答:对,r(A)=r=m=r(A|b).(6)若r(A)=r=n,则AX=b必有唯一解.答:错,A为mn,当mn时,可以r(A|b)=n+1.⑴唯一解：线性方程组有唯一解【例题4】解线性方程组解：可见，则方程组有唯一解，所以方程组的解为⑵无解：线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现，则原方程组无解）【例题5】解线性方程组解：，可见，所以原方程组无解.⑶无穷多解：线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组解：可见，则方程组有无穷多解，其同解方程组为（其中,为自由未知量）令得原方程组的一个特解.又原方程组的导出组的同解方程组为（其中,为自由未知量）令，，得；令，，得，于是得到导出组的一个基础解系为，。所以，原方程组的通解为（，）.【例题7】求线性方程组：的全部解.解：可见，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为（其中为自由未知量）令，可得原方程组的一个特解.又原方程组的导出组的同解方程组为（其中为自由未知量）令（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得，于是得到导出组的一个基础解系为.所以，原方程组的通解为（）.【例题8】求非齐次线性方程组的全部解。解：因为，所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为，原方程组与方程组同解取自由未知量为，得原方程组的一