基于“直观想象”的数学核心素养的培养——以图形的全等变换为例.pdf

基于“直观想象”的数学核心素养的培
养——以图形的全等变换为例

“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，是发现
和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、构
建抽象结构和进行逻辑推理的基础。重视“直观想象”核心素养的培养，有利于
提高学生运用图形和空间想象进行分析、推理、论证的能力。图形的全等变换包
括平移、轴对称、旋转、中心对称等图形变换，本文以图形全等变换为例，谈谈

基于“直观想象”的核心素养在初中数学教学中的培养。

一、积累活动经验，感悟几何直观

数学活动经验是指学生个体在具体数学活动基础上获得的经验。教学时，教

师要有意识培养学生的几何直观意识，从几何直观的角度观察、分析、解决问题。

前不久，笔者有幸听取了一节《全等变换》中考复习课，上课伊始，教师先
播放了一段视频，画面中一位工作人员正搬动一块瓷砖，瓷砖太重不易搬动，只
见他蹲下身子，把瓷砖平放在地面上，先翻折180°，使得保护膜一面着地，再
慢慢往前推动，到达目的地边上时，瓷砖的一个顶点与已经堆放在那里的瓷砖的
一个顶点重合，绕这点旋转90°，再往上翻折，瓷砖就稳稳地堆放好了。借助图
像，教师引导学生回顾了平移、轴对称、旋转、中心对称等全等变换的概念，在
此基础上进一步让学生归纳出各种图形变换的性质。“胸中有图”从而“心中

有数”。

二、关注过程教学，体验空间观念

教学过程是数学课程内容的重要组成部分。老师在空间观念的教学中要重视
过程，给学生足够的时间和空间，让他们去探究、去交流、去表达，说出感受，
说出想象……通过各种方式留给学生充分感受体验学习过程的空间。唯有过程充

分了，观念和能力才能有所提升。
如图，在△ABC中，点P为BC的中点，
延长AB到点D，使得BD=AC，延长AC到点E，

使得CE=AB，连接DE。

图1

图2

图3

(1)如图1，连接BE，若∠BAC=60°，试探究BE与AP之间的数量关系并加

以证明；

(2)请在图2中证明：BC≥DE。

生1：过点B作BH∥AE交DE于点F，连接CF、BF（如图3）。由已知得
AD=AE，易证得BH=AC，∴四边形ABHC是平行四边形，所以点A、P、H共线，且

AH=2AP，再证△ADH≌△EDB，得BE=AH=2AP。

师：非常好！第(2)小题呢？不一会儿，有学生举手了。

生1：由（1）得AP=PH，过点P作MN∥DE交AD于M，交AE于N，∴MN是

△ADE的中位线，∴MN=DE，所以只要证BC≥MN，不过……受第(1)小题启发，
有学生想到了这种方法，但思路就此卡住，证不下去了。过了一会又有学生举手

了。

生2：过点B作DE的平行线，过点E作
AD的平行线交于点F，连接CF（如图4）。
∴BF=DE，EF=DB=AC，∠BAC=∠AEF，
∵AB=CE，∴△ABC≌△ECF，∴BC=CF。在△BCF中，BC+CF＞BF，∴2BC＞DE，即

BC＞DE。

图4

图5

师：太精彩了！你是怎么想到的？

生2：根据结论，要证BC≥DE，只要证得2BC≥DE，即BC+BC≥DE，根
据“三角形两边之和大于第三边”，所以我就想到平移DE，把两条线段移到同一

个三角形中。

这时学生突然停住，发现了证明过程中的不足，等于呢？这时，教师再引导

学生分类讨论，完善解答。接着，又有学生举手了。

生3：也可以平移BC，以BD、BC为一组邻边构造平行四边形BDFC，连接EF

（图5）……

最后教师鼓励学生课后对生1的证法继续深入研究。

只有关注教学“过程”本身，把过程做足，深入感知数学结论的发现过程，
才能诱发学生火热的思考，才能使学生数学思维“鲜活”起来；只有多以问题为
引导，层层递进组织教学，让学生积极参与充满挑战又极具诱惑的问题解决过程，

才能使学生在问题解决过程中欣赏数学，喜爱数学。

三、运用动态想象，揭示运动规律

动态想象是形成学生知觉形体特征的重要手段，动态想象
不仅包含着图形的变化，更蕴含着数学思考。在数学解题中，
运用动态想象，可以实现由被动感知到主动再现、由单一角度

到多种角度来感知运动当中的不变量。

如图6，在菱形ABCD中，AB=10，∠B=60°，点P在AB

，BP=4，Q是CD上一动点，将四边形DAPQ沿直线

PQ折叠，点A的对应点E，当CE的长度最小时，CQ的长为______。

本

图6

题需要对图形特征从形到数整体认识，属于直观想象核心素养

中利用图形探索和解决数学问题的考查。难点在于学生不知何时点E是动点。

先利用轴对称性质得PE=PA=6，由于到定点P的距离等于6，所以点E在以P
为圆心，以PA长