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核心素养与小学数学之运算能力：运算能力培养的策略与途径

广大数学教师积极实践，在训练运算技能方面积累了很多有效的

经验，为学生运算能力的发展奠定了坚实的基础，但也发生了一些“熟

而生笨”（李士锜，1999）、“熟而生厌”（李士倚，2000）的问题。

新时期，对于运算能力的追求，更重在“合理”“简洁”“高效”“创

新”。我们应站在“巨人的肩膀”上，传承精华，克服不足，删减过

剩的基础训练，增加富有趣味性和思考性的活动，使过程性的操作与

结构化的反省结合，计算与推理结合，切实地从教计算转向用计算教，

通过形式多样的运算活动来发展学生的数学思维，激发创造力。

当然，“运算能力的培养是一个长期的任务，它要经历一个从简

单到复杂、从具体到抽象、从单一到综合的反复训练、循环上升的活

动过程”（黄翔，2012）。实际教学中，要尊重学生的认知特点，结

合不同阶段的教学内容，形成能力发展的序列，并通过常规的变式和

非常规的变化落实到一次次高品质的课堂活动中去。

一、重视算理的教学

在一个时期的运算教学中，单看重算法的掌握：一是强调既定程

序，即所谓“通法”的反复操练﹔二是虽也涉及一些灵活、简省的计

算，但其中的窍门不是学生发现的，而是通过分门别类地讲解与训练，

归纳形成几个固定的招式。在这样的情况下，“绝大部分儿童对于数

学概念的真正含义很不理解，他们充其量只能成为演算成套复杂符号

艺术的熟练技术员”（贝尔，1990）。学生背负着沉重的记忆负担，

刻板地执行算法，失去了思维的自由和自觉，何谈好奇心？何谈兴趣？
又何谈运算能力呢？

要弥补这样的缺失，让学生看到完整的数学，“除算法之外，至

少还应包括如下两个方面：其一，从动态而言，算法都有其发现的过

程﹔其二，从静态而言，算法都有其成立的必然性依据”（俞昕，2010）。

这就涉及算理的教学。算理是运算的根本，算法是算理在具体问题中

的应用和表现。掌握了算理，就能更好地落实算法，尤其是有可能让

学生自主发现和发明算法，自觉比较和整合算法，用深刻的算理去驾

驭多变的算法，在丰富的算法中进一步加深对算理的认识，发展算法

思想。

新课标实施以来，教师越来越重视让学生在理解算理的基础上掌

握算法，强调学生不仅要知道计算的程序，而且应了解背后的道理，

掌握设计和评价算法的主动权。

比如两位数乘一位数，浙教版小学《数学》（三年级上册）是这

样编写的：

基于乘法的意义，改进计算的策略：最朴素的是4个12相加，

怎么加得快呢？可以先将4个10相加，再将4个2相加，最后把两

部分的和合起来——直观理解（情节、图像）、程序理解（算法）、
抽象理解（意义）、形式理解（竖式）很好地结合起来，互为说明。

又如俞正强（2014）在教授“笔算除法”时，一开始就引导学生

质疑。

然后回溯计算的过程，理解竖式每一步的意义：

这样的教学，每一步程序的增减都有理有据，不仅使竖式的内涵

显性化，而且体现了数学的理性精神。

重视算理的教学，除了重视挖掘算法背后的原理，还要注意对原

理作进一步的沟通和概括。

分数与整数的四则运算本质上是一致的。在分数单位统一的前提

下，分数四则运算就是分数单位个数的（即整数或分子）四则运算（张

天孝，2010）。因此，浙教版小学《数学》（三年级下册）第一次进

行分数运算教学即同分母分数加减时，就设计了下面这样的环节：

在具体计算的基础上归纳得出：上述式题的核心运算是2个计数

单位与3个计数单位相加得到5个计数单位。

在后续的分数运算中继续强调两个要点：分数单位统一和分数单

位个数运算。

如浙教版小学《数学》（五年级下册）在异分母分数加减教学中

是如下图那样设计的：

计数单位不统一，不能直接加减，转化为相同计数单位后，计算

规则继续奏效。

分数乘法是这样设计的：

然后进行强化，

同分母分数相除，只要将分子相除就可以了。

接着讨论一般的分数除法，

原理仍是统一分数单位（通分）后，分子相除，形式上表现为所

谓的“颠倒相乘”。

算理贯通的编排，用原来整数计算的规则同化分数计算，同时又

因为分数单位的多样性和分数表示的不唯一，扩充和改造了原有的计

算图式，达成更高层次的统一和概括。

需要强调的是，学习算理本身应该是一个推理和发现的过程。

小学数学的算理包括数概念、运算意义、运算性质和运算定律等，

这些原理本身是有逻辑联系的。比如加法有两种定义：

定义1（序数理论）：如果数α和数b都是自然数，在自然数列

中的数a之后再数出b个数来，恰好对应于自然数列中的数c，则c

叫作a与b的和，求两个数的和的运算叫作加法，记作：a＋b=c。

定义2（基数理论