多元函数微分学的几何应用(1).doc

离散数学
第1章集合

第8节多元函数微分学的几何应用（考点）
8.1空间曲线的切线与法平面
在空间解析几何中，空间曲线一般用两种方式来表示，参数式方程和一般式方程．下面我们分别探求这两种情形时曲线的切线及法平面方程．
1参数式方程表示的曲线的切线和法平面
设空间曲线的方程为：
，．(8.1)
并假定(8.1)式的三个函数都在上可导．若记，则曲线的参数方程可写为：
(8.2)
当均在上连续时，曲线是一条连续曲线．
给定下面设存在且不同时为零。
设，为曲线上对应于参量，的两个点（；）。
曲线上过割线的方向向量为：

割线方程
(8.3)
当点沿曲线趋近于时，即当时，割线的极限位置是曲线在处的切线．故当时割线方向向量的极限向量
是在点切线的方向向量，称为曲线在处的切向量，故曲线在处的切线方程为：
(8.4)
若中有个别为零，则按空间解析几何中对称式方程的说明来理解．
过点且与其切线垂直的平面（过点且与处的切线垂直的所有直线都在此平面上），称为曲线在点处的法平面．法平面方程为
．(8.5)
总结：曲线在点的
（1）切向量：；
（2）切线：；
（3）法平面：
。
关键是求出切向量。
【例8.1】求曲线，，在点处的切线和法平面．
解因为，，，又由方程知，在点处，对应于，所以切线的方向向量为．故曲线在处的切线方程为：
，
法平面方程为：
，即．
【例8.2】若曲线在任一点的法平面都过原点，试证明：此曲线必在以原点为球心的球面上．
证任取曲线上的点，则在点处的法平面方程为
．
因为原点在法平面上，故有，此方程等价于方程，故有
，
（必，因为是存在的。）
上述方程表示以原点为球心，为半径的球面，而曲线上的任一点满足此方程，故曲线在此球面上．
若空间曲线的方程为：，，，取为参数，则曲线方程为：，，，．若，在处可导，则曲线在处的切线向量为：，故切线方程为：
，
法平面方程为：．
（如果或呢？）
【例8.3】求曲线在点处的切线和法平面方程．
解取为参数，则曲线的参数方程为：．在处的切向量为，故曲线在处的切线方程为：
．
法平面方程为：，即．
2一般方程形式表示的曲线的切线和法平面方程
设曲线的方程为，在点的某邻域内，，连续可微，在点的某邻域内能惟一地确定隐函数组，。则其参数方程为，因而在点处的切向量为，切线方程为：
，
法平面为：。其中，由隐函数的导数即解方程组

得到。
【例8.4】求曲线上点处的切线和法平面方程．
解把看作的函数，两边对求导有

把代入得

解得

切向量：；切线：；法平面：。
思考题：
1．若曲线上任一点的切线向量为（a为常数），则此曲线是一条什么曲线？若其任一点的切线向量为（为常数）呢？
（，平行于轴的直线。，面上的一条直线。）

8.2曲面的切平面与法线
设为空间的一张曲面，其方程为，为曲面上一点．设．
在曲面上任意作一条过的光滑曲线（图8.1），设其参数方程为且。则有．此恒等式两边关于求导，并令，有
，

图8.1

记，则有
即．
其中是一个固定的常向量，而是在点的切向量也即在点的切向量。由于是任意的，是任意的。
结论：在点的任意切向量都垂直于固定的常向量。
因此：是在点的切平面的法向量。
曲面在点处的切平面方程为
，
过点且以法向量为方向向量的直线称为曲面在处的法线，其方程为
．
总结：在点的
（1）法向量：；
（2）切平面：；
（3）法线：。
关键是求出法向量。
当看作数量场时，既是在点的梯度同时也是其过点的等量面的法向量。因为梯度方向是数量场增加最快的方向，因此在点沿等量面的法向量方向增加最快．
【例8.5】求曲面在点处的切平面和法线．
解设，则
，
故所求切平面方程为：，即
．
法线方程为：
，即．
若曲面方程为，且可微．令，则有，，。故曲面在点处的法向量

切平面
，
法线：．
如果令，则得向上的法向量，而是向下的法向量。
【例8.6】求曲面在点处的切平面和法线方程．
解设，，，
故曲面在的法向量为，
切平面方程为：，即；
法线方程为：．
我们知道，曲面上点处的切平面方程为：
，
曲面上点处的切平面方程为：
，
从而若曲线的方程为，则上点处的切线实际上是上面两个切平面的交线，即
(8.7)
请与(8.6)的结果进行比较，并以此方法重解例8.4．
【例8.4】求曲线上点处的切线和法平面方程．
解。

切线：；切向量：

法平面：。
下面简单介绍由参数方程形式表示的曲面的切平面的求法.
设曲面的方程为：,,，(为平面内的区域）．为曲面上的一点，，,，在包含点的某邻域内有连续的偏导数。
假设由解出，代入得。
，。
法向量：。其中由方程组

解出。有了法向量就很容易写出切平面和法线的方程。
【例8.7】设曲面的方程为，，，求在参数，处，，曲面