2.5 圆锥曲线的统一定义1.doc

圆锥曲线的统一定义教学目标了解圆锥曲线的统一定义；掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程．教学过程一．问题情境：古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥（如图1）的方法研究了圆及椭圆、双曲线、抛物线.由于椭圆、双曲线、抛物线均是平面截圆锥而得到，教材中将这三类曲线定义为圆锥曲线。既然都叫圆锥曲线，它们是否会有一个统一的定义呢?探索活动1:椭圆、双曲线、抛物线定义的表述，结构上有相似和相异之处吗?椭圆：平面内到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.双曲线：平面内到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线.抛物线：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上）的距离相等的动点轨迹叫做抛物线.结论：（1）都是两个距离的关系；（2）椭圆和双曲线定义中是到两个定点的距离的关系，而抛物线定义中是到定点距离与到定直线的距离的关系探索活动2：如果它们的定义能统一，是都用到两定点的距离关系来定义，还是都用到一定点F的距离和到一定直线l的距离的关系来定义呢？猜想一下，用哪个更合理？为什么？结论：用到一定点F的距离和到一定直线l的距离的关系来定义，因为抛物线只有一个焦点。探索活动3：椭圆上任意一点到一个定点（焦点）的距离和到一定直线l的距离是否存在某种数量关系呢？结论：椭圆上任意一点到一个定点（焦点）的距离和到一定直线的距离之比是常数。问题3：反之，平面内到一个定点的距离与到一定直线l的距离之比是一个常数（小于1）点的轨迹是椭圆吗？二．生成定义例题：已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．变题：已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．问题5：圆锥曲线如何统一定义呢？平面内到一定点F与到一条定直线l(点F不在直线l上）的距离之比为常数e的点的轨迹:随堂检测1、填空（见课本感受理解第一题）［设计意图]:对焦点在轴上的椭圆、双曲线（标准形式）的准线方程，让学生通过画图，独立探索）2、已知某圆锥曲线的准线是，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：（1）（2）（3）［设计意图]：此题是在学生学习了圆锥曲线的统一定义后的一道习题，目的在于学生首先根据离心率的大小来确定曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，然后再求准线。说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线．）同步测评1.曲线的准线方程为.2.椭圆上一点P到右准线的距离为，则该点到轴的距离为.3.椭圆：的左准线是，左、右焦点分别为，抛物线的准线也是，焦点为,与的一个交点为,则的值等于.4.动点与点间的距离比点到直线：的距离小1，则点的轨迹方程为.5.已知点在椭圆内，的坐标为（2，0），在椭圆上求一点使最小.回顾小结：圆锥曲线的统一定义．掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．